Кут, що спирається на діаметр (коло Фалеса)

Кут, вписаний у коло, що спирається на діаметр, — прямий. Іншими словами, кожен трикутник, у якого центр описаного кола лежить на одній зі сторін, є прямокутним.

Зауваж: в Україні «теоремою Фалеса» зазвичай називають іншу теорему — про пропорційні відрізки. Твердження, про яке йдеться тут, у школі звичайно формулюють як теорему про кут, що спирається на діаметр. Назву «коло Фалеса» (чеською Thaletova kružnice) ми вживаємо в цій статті для кола з діаметром AB, на якому лежать вершини всіх таких прямих кутів.

Опис кола Фалеса

Давньогрецький математик Фалес із Мілета колись помітив цікаву властивість трикутника. Накреслімо трикутник і його описане коло так, щоб центр цього кола ділив гіпотенузу (найдовшу сторону) трикутника навпіл. Подивися на наступний рисунок:

На рисунку маємо коло k із центром у точці O. Це коло описане навколо трикутника ABC, тобто проходить через усі вершини трикутника. Важлива властивість полягає в тому, що гіпотенуза проходить через центр кола, тобто через точку O.

Тоді внутрішній кут ABC завжди має величину $90^{\circ}$, тобто є прямим.

Куди б ми не пересунули вершину B по колу, при цій вершині завжди матимемо прямий кут. Ось ще кілька прикладів:

Доведення

З'ясуймо, чому трикутник у колі Фалеса завжди прямокутний. Трохи змінімо перший рисунок:

Трикутники OCB і AOB рівнобедрені, бо в кожного з них дві сторони однакової довжини. У трикутника OCB це сторони OC і OB, бо їхня довжина дорівнює радіусу кола. У другого трикутника це сторони OA і OB.

Тому кути BCO і OBC рівні; на рисунку їх позначено літерою β. Те саме в другому трикутнику, там кути позначено літерою α.

Далі, сума кутів трикутника завжди дорівнює $180^{\circ}$. Тепер виразімо суму кутів трикутника ABC через кути α і β. Має виконуватися рівність

$$ \alpha + \beta + \alpha + \beta = 180. $$

Один кут α тут — це кут CAB, другий кут α — кут ABO. Те саме для кута β. Попередню рівність ще трохи спростимо:

$$ 2\alpha+2\beta = 180 $$

Поділимо рівність на два:

$$ \alpha+\beta = 90 $$

І доведення завершено. Ми знаємо, що сума кутів α + β дорівнює 90, а також знаємо, що кути α і β разом дають шуканий внутрішній кут ABC.