Прямокутний трикутник

Прямокутний трикутник має один прямий внутрішній кут, тобто кут величиною 90 градусів. Цей трикутник має кілька цікавих властивостей, про які йтиметься в цій статті.

Загальний опис

Прямокутний трикутник уже частково описано в головній статті про трикутники. Прямокутний трикутник має один внутрішній кут величиною 90 градусів. Обидва інші внутрішні кути неодмінно менші за 90 градусів, бо інакше сума внутрішніх кутів не дорівнювала б 180 градусам. Більш того, сума двох інших кутів дорівнює саме 90 градусам.

Прямокутний трикутник, звісно, має три сторони. Дві з них називають катетами (червоні сторони) — це менші сторони, а третю сторону називають гіпотенузою (синя сторона) — це найдовша сторона. Гіпотенуза завжди лежить навпроти вершини прямого кута.

Теорема Піфагора

Найвідоміша, мабуть, математична теорема взагалі, теорема Піфагора, виконується саме в прямокутному трикутнику. Теорема Піфагора стосується розмірів сторін трикутника. Вона стверджує: «Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на його катетах». Математично це записують так:

$$c^2=a^2+b^2$$

Теорема Піфагора на рисунку: Теоремі присвячено окрему статтю.

Площа прямокутного трикутника

У прямокутному трикутнику площу обчислити дуже просто, бо висоти збігаються з катетами. Уяви прямокутний трикутник із першого рисунка. Як би ми обчислили його площу, не знаючи жодних висот? Трикутник можна добудувати до прямокутника. Сторонами прямокутника будуть катети трикутника, а дві інші сторони добудуємо так, щоб справді вийшов прямокутник: Площу прямокутника ми вже вміємо обчислювати: це добуток довжин двох сусідніх сторін, у нашому випадку добуток червоних сторін AC і AB. Так отримуємо площу прямокутника. Проте гіпотенуза BC є діагоналлю прямокутника, яка ділить прямокутник навпіл, тож якщо площу прямокутника поділити на два, отримаємо площу прямокутного трикутника. Формула матиме такий вигляд:

$$S_\triangle=\frac{b\cdot c}{2},$$

де b і c — довжини катетів.

Тригонометричні функції синус і косинус

У прямокутному трикутнику діють основні тригонометричні функції та їхні співвідношення. Тригонометричні функції — синус, косинус, тангенс і котангенс — виражають відношення між довжинами окремих сторін прямокутного трикутника. Знову візьмімо на допомогу перший трикутник, цього разу з виділеними кутами.

Щоб дізнатися відношення довжин двох сторін, беремо обидві довжини й ділимо їх у зазначеному порядку. Наприклад, відношення довжин сторін b : c (читаємо «бе до це») отримаємо діленням 3/5 (сторона b має довжину 3, сторона c — 5).

Функція синус працює з відношенням двох сторін і одного кута. Для нашого рисунка виконується таке: якщо взяти відношення сторін b : a, отримаємо значення функції синус для кута β. Косинус працює подібно, лише для відношення c : a і того самого кута β. Отже:

$$\begin{eqnarray} \sin(\beta)&=&\frac{b}{a}\\ \cos(\beta)&=&\frac{c}{a} \end{eqnarray}$$

Функції синус і косинус працюють завжди лише з тими кутами прямокутного трикутника, які менші за 90 градусів. У цьому випадку це кути β і γ. У цьому діапазоні синус і косинус завжди дають число з проміжку (0; 1), тому можна запам'ятати правило: завжди ділиш коротшу сторону на довшу, щоб отримати число саме з проміжку (0; 1).

Обидві функції водночас працюють з одним катетом і гіпотенузою, ніколи не з двома катетами одразу. Оскільки ти завжди ділиш коротше на довше, гіпотенуза завжди стоятиме в знаменнику дробу. Якщо подивитися на формули над цим абзацом, то в знаменнику завжди стоїть a, тобто гіпотенуза трикутника.

Останнє правило: синус працює з протилежним катетом, а косинус — з прилеглим. Що це означає? Якщо маємо кут β, то прилеглий катет — це той катет, що виходить із точки B, катет c. Протилежний — це другий катет, катет b. Тому у формулі для синуса стоїть сторона b, а для косинуса — сторона c.

Підсумок: синус дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи, косинус — відношенню прилеглого катета до гіпотенузи. Як це можна використати? Якщо знаєш кути трикутника й довжину гіпотенузи або катета, можна обчислити довжини решти сторін. Приклад:

Для попереднього трикутника виконується:

$$|AC|=b=3,\quad|AB|=c=5,\quad\beta=30{,}96^\circ$$

Яка довжина сторони a? Знаємо, що:

$$\sin(\beta)=\frac{b}{a}$$

Значення синуса ми знаємо, довжину сторони b теж, шукаємо довжину сторони a. Виразимо a за допомогою рівносильних перетворень:

$$\begin{eqnarray} \sin(\beta)&=&\frac{b}{a}\\ a\cdot\sin(\beta)&=&b\\ a&=&\frac{b}{\sin(\beta)} \end{eqnarray}$$

(Спершу ми помножили рівняння на a, а потім поділили рівняння на синус.) У правій частині вже самі відомі значення, тож підставляємо. Значення синуса обчислимо на калькуляторі.

$$a=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{3}{0{,}514}=5{,}83.$$

Сторона a має довжину 5{,}83. Коли обчислюватимеш синус на калькуляторі, стеж, щоб був увімкнений режим градусів. Часто проблема саме в тому, що обчислюєш у радіанах, а це інша одиниця виміру кутів. Проте між ними існує співвідношення:

$$\text{рад}=\frac{\pi}{180}\cdot\text{град},$$

де $\text{град}$ — твоє значення в градусах.

Тригонометричні функції тангенс і котангенс

У прямокутному трикутнику легко використовувати й ці дві функції. Знову ж таки, працюємо завжди з кутами, меншими за 90 градусів. На відміну від синуса й косинуса, ці функції працюють не з гіпотенузою трикутника, а лише з катетами. Тангенс кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого, а котангенс — відношенню прилеглого катета до протилежного.

Отже, для попереднього трикутника виконується:

$$\begin{eqnarray} \operatorname{tg}(\beta)&=&\frac{b}{c}\\ \operatorname{ctg}(\beta)&=&\frac{c}{b} \end{eqnarray}$$

Спробуймо в попередньому трикутнику обчислити довжину сторони AC (сторони b) за допомогою кута β. Його величину ми знаємо з попереднього прикладу. Знаємо, що:

$$\operatorname{tg}(\beta)=\frac{b}{c}$$

Виразимо сторону b:

$$\begin{eqnarray} \operatorname{tg}(\beta)&=&\frac{b}{c}\\ c\cdot\operatorname{tg}(\beta)&=&b\\ b&=&c\cdot\operatorname{tg}(\beta) \end{eqnarray}$$

(Рівняння ми лише помножили на c і поміняли сторони місцями.) Тепер ми знаємо все потрібне, щоб обчислити довжину сторони b. Підставляємо:

$$b=c\cdot\operatorname{tg}(\beta)=5\cdot\operatorname{tg}(30{,}96)=5\cdot0{,}6=3$$

Уже з рисунка бачимо, що вийшов правильний результат. Знову зауваж: у формулі під тангенсом стоїть значення в градусах, тоді як калькулятор може вимагати кут у радіанах.

Для ілюстрації ту саму сторону можна обчислити й за допомогою котангенса:

$$\begin{eqnarray} \operatorname{ctg}(\beta)&=&\frac{c}{b}\\ b\cdot\operatorname{ctg}(\beta)&=&c\\ b&=&\frac{c}{\operatorname{ctg}(\beta)} \end{eqnarray}$$

Підставимо значення:

$$b=\frac{5}{\operatorname{ctg}(30{,}96)}=\frac{5}{1{,}666\ldots}=3$$

Знову вийшов правильний результат.