Об'єми та площі

Спершу дуже коротко про теорію — раптом хтось не знає. Периметр фігури — це сума довжин усіх її сторін; його виражають у метрах і похідних одиницях. Периметр зазвичай позначають літерою P (довжину кола — літерою L). Площа фігури — це величина поверхні, яку вона займає; її обчислюють у квадратних метрах, а математично квадратний метр записують за допомогою двійки у верхньому індексі: м². Площу зазвичай позначають літерою S. Об'єм — це простір, який займає тіло; простими словами, це показує, скільки води туди можна налити. Об'єм обчислюють у кубічних метрах і похідних одиницях, а просторові міри записують за допомогою трійки у верхньому індексі: м³. Об'єм зазвичай позначають літерою V. Площу й об'єм можна виразити й в інших (мабуть, частіше вживаних у повсякденному житті) одиницях, як-от ар або гектар для площі та літр для об'єму. Площу чи об'єм загалом можна обчислити за допомогою інтегралів.

Квадрат і прямокутник

Обидві фігури двовимірні, тож тут матимемо лише периметр і площу. Із квадратом усе найпростіше, бо квадрат за означенням має всі сторони однакової довжини. Отже, якщо обчислюємо периметр квадрата, досить узяти одну сторону квадрата й помножити її на чотири (кількість сторін): P=4a. Периметр прямокутника лише трохи складніший. Прямокутник завжди має по дві однакові сторони, тож є два шляхи: або просто додати всі сторони, або взяти довжини двох різних сторін, помножити їх на два й додати: P=2a+2b.

Площа квадрата не складніша за його периметр. Береш одну його сторону й множиш на другу сторону. Оскільки в квадрата всі сторони однакові, виходить формула: S = a·a = a². Прямокутник працює точнісінько так само, як квадрат, з тією лише різницею, що в прямокутника не всі сторони однакові, тому треба перемножити дві різні взаємно перпендикулярні сторони: S=a·b.

Паралелограм

Паралелограм — це фігура, схожа на прямокутник, але з двома скошеними протилежними сторонами, див. рисунок під цим абзацом. Периметр паралелограма простий і по суті такий самий, як у прямокутника: P=2a+2b, а от площа вже трохи цікавіша. Щоб обчислити площу паралелограма, треба перетворити його на прямокутник, інакше не вийде. А як перетворити його на прямокутник, показує наступний рисунок:

Спершу відрізаємо зайву частину паралелограма (зафарбовану) і приставляємо її з іншого боку паралелограма, отримуючи прямокутник:

Тепер можна легко обчислити площу паралелограма: формула буде така сама, як для прямокутника. Проте графічне перетворення паралелограма незручне, тому користуються простою формулою, що випливає саме з цього перетворення. Сторона a однакова і в прямокутника, і в паралелограма, відрізняється лише друга сторона. Тож для паралелограма замість сторони b беремо висоту паралелограма, яка дорівнює стороні b у перетвореному прямокутнику. Наочно це показує наступний рисунок (множити будемо сторони, виділені червоним):

Формула має такий вигляд: S=h_a·a, де h_a — висота, проведена до сторони a.

Трапеція

З периметром усе ясно: додаємо всі сторони. Площа трапеції — уже міцніший горішок. Теоретично можна було б діяти так само, як із паралелограмом, але ми не знаємо, брати довшу (AB) чи коротшу (CD) сторону.

Тому застосовують хитрість: обчислюємо середню довжину цих двох паралельних сторін і рахуємо з нею. Отже, додаємо довжини основ AB і CD (позначимо їх a і b), ділимо на два, а далі рахуємо так само, як для паралелограма: множимо на висоту — і маємо площу. S=(a+b)/2 · h_a, де h_a — висота, проведена до основи a.

Трикутник

Трикутник — двовимірна фігура, тому для нього можна обчислювати периметр і площу; об'єму він мати не може і не має. Периметр трикутника обчислюємо, додавши всі його сторони. Тобто загальна формула має такий вигляд: P=a+b+c. Звісно, можна знайти й окремі випадки: наприклад, ясно, що рівносторонній трикутник має всі сторони однакової довжини, тож досить знати довжину однієї сторони й помножити її на три. Тоді формула матиме такий вигляд: P'=3a.

Для площі трикутника потрібне одне невелике перетворення. Щоб обчислити площу трикутника, треба перетворити його на паралелограм (подібно до того, як ми перетворювали паралелограм на прямокутник). Як із трикутника зробити паралелограм, знову показує наступний рисунок:

З цього рисунка вже має бути зрозуміло, як обчислити площу трикутника: діятимеш так само, як при обчисленні площі паралелограма, лише результат поділиш на два: S=(h_c·c)/2, де h_c — висота, проведена до сторони c (як на рисунку).

Круг

Круг — особлива фігура тим, що ні довжину його межі, ні площу не можна обчислити. Принаймні не з абсолютно точним значенням. Що б ми не хотіли з кругом обчислити, навряд чи колись обійдемося без сталої пі — π. Точне значення π невідоме, це ірраціональне число, проте його наближене значення, з яким зазвичай рахують (якщо в тебе немає його значення в калькуляторі), — 3,14.

Тепер перейдімо до формул. Ще давні мислителі з'ясовували, як обчислити довжину кола, тобто межі круга (коло — це лише лінія, дуга; коло не має внутрішньої частини, а отже, і площі, тоді як круг має площу, адже до нього зараховують і внутрішню частину кола). З'ясувалося, що відношення довжини кола до діаметра (який легко виміряти) завжди однакове, і з часом навіть обчислили, у скільки разів довжина кола більша за діаметр. І диво з див — це якраз π разів. Отже, довжину кола обчислюємо за формулою L=π·d=2·π·r (частіше наводять другу, складнішу формулу, бо найчастіше нам відомий радіус, а не діаметр), де d — діаметр, а r — радіус круга.

Площа круга тоді дорівнює S=π·r², не знаю, що тут можна ще додати :-).

Куб і прямокутний паралелепіпед

Це перші просторові тіла, тож для них визначатимемо площу поверхні й об'єм. Оскільки куб має шість граней і всі грані — квадрати, порядок дій зрозумілий: обчислюємо площу однієї грані й множимо її на шість. $S_{пов}=6a^{2}$. З прямокутним паралелепіпедом довше, бо в нього кілька різних граней. Загалом досить обчислити площі трьох різних граней, додати їх і помножити на два — і маємо площу поверхні паралелепіпеда: S_пов = (a · b + b · c + a · c) · 2.

Об'єм куба обчислюють точнісінько так само, як площу квадрата, з тією незначною різницею, що не слід забувати: ми перебуваємо в просторі. Тобто досить узяти довжину сторони й піднести її до третього степеня: V=a³. З паралелепіпедом схоже, лише ці три сторони треба перемножити окремо, бо вони різної довжини: V=a·b·c.

Куля

Площа поверхні кулі (= сфери) обчислюється за формулою $S_{пов}=4\cdot \pi \cdot r^{2}$, а об'єм кулі дорівнює V=4/3·π·r³. Якщо хочеш прочитати досить складне виведення формули об'єму кулі, пошукай за словами «принцип Кавальєрі».

Циліндр

Площу поверхні циліндра обчислюємо як суму площ двох основ і площі бічної поверхні. Основа — звичайний круг, тож площа однієї основи дорівнює площі круга, тобто площу однієї основи обчислюємо так:

$$S_{осн}=\pi\cdot r^2$$

Бічна поверхня циліндра — це не що інше, як «згорнутий» прямокутник, у якого довжина однієї сторони дорівнює висоті циліндра (позначимо її h), а друга дорівнює довжині кола при основі. Отже, площа бічної поверхні дорівнює:

$$S_б=h\cdot2\pi r$$

Площа поверхні всього циліндра тоді дорівнює:

$$S_{пов}=2\cdot S_{осн}+S_б=2\pi r^2+2h\pi r=2\pi r(r+h)$$

Об'єм циліндра простіший: це висота, помножена на площу основи. Площу основи ми вже обчислювали на попередньому кроці. Результат:

$$V=h\cdot\pi r^2$$

Піраміда і конус

Площу поверхні піраміди загалом обчислюють як суму площі основи та площ усіх граней. Загальної формули для цього, по суті, немає. Об'єм піраміди має дещо спільне з обчисленням площі трикутника: беремо площу основи й множимо на висоту піраміди. Результат ділимо на три — і маємо об'єм піраміди. V = (S_осн · h)/3, де S_осн — площа основи.

Площа поверхні прямого кругового конуса дорівнює сумі площі основи та площі бічної поверхні. Площа основи зрозуміла: це звичайний круг, тобто $S_{осн}=\pi \cdot r^{2}$. Площа бічної поверхні трохи складніша: уяви, що ти «розгортаєш» її на столі, і виходить частина круга — сектор, площа якого дорівнює S_б = π · r · l, де l — твірна конуса (відстань від вершини конуса до межі основи, по суті це щось подібне до бічного ребра піраміди). Отже, $S_{пов}=\pi \cdot r^{2}+\pi \cdot r\cdot l$. Об'єм конуса дорівнює V=(π · r² · h)/3, де h — висота конуса.

Приклад на площі

Обчисли площу наступної фігури (вважай, що розміри на осі дано в метрах):

З першого погляду видно, що ця фігура — якийсь довільний многокутник, до якого як до цілого жодної формули застосувати не можна. Тож треба розбити його на менші частини, які вже вміємо обчислити. Найзручніше буде, якщо з нижньої частини зробити трикутник, а з верхньої — трапецію. Розбиття показує наступний рисунок:

Тепер обчислимо площу трикутника ABE за формулою S=(c · h_c)/2. Стороною c у цьому випадку буде сторона AE, а висотою до цієї сторони — сторона EB. Бачимо, що |AE|=3 м і |EB|=1 м. Підставивши у формулу, отримуємо: S=(3 · 1)/2=1,5 м².

Другим кроком обчислимо площу трапеції за формулою S=(a+b)/2 · h_a. Основою a у нашому випадку буде сторона AE, а основою b — сторона DC. Висоту знову легко зчитати з рисунка: це довжина відрізка EC. Підставивши у формулу, отримуємо: S=(3+2)/2 · 2=5 м².

Попередні два часткові результати просто додаємо — і маємо шукану площу фігури. S=1,5 м² + 5 м² = 6,5 м².

Обчисли площу наступної фігури (вважай, що розміри на осі дано в метрах):

Мабуть, знову з першого погляду видно, що однієї формули нам не вистачить і фігуру доведеться якось перетворити. Рахуватимемо так: обчислимо площу того «квадрата», додамо до неї три чверті площі круга й віднімемо той маленький трикутник унизу ліворуч:

Площу квадрата обчислюємо просто: S₁ = 2 · 2 = 4 м². Другим кроком обчислимо площу круга. Знову просто підставляємо у формулу й обчислюємо S₂ = π · 1² · 3/4 = 3π/4. Залишається лише обчислити площу трикутника DEI і відняти її від площі квадрата. Сторона EI і її висота DI мають однакову довжину 1 м, тож площа трикутника буде S₃ = ½.

Останнім кроком додаємо й віднімаємо часткові результати: S = S₁ + S₂ − S₃ = 3,5 м² + 3π/4 м².