✖

Коло в трикутнику

Kapitoly: Трикутник, Висота трикутника, Медіана трикутника, Коло в трикутнику, Прямокутний трикутник, Як побудувати трикутник, Площа трикутника, Теорема Піфагора

Для кожного трикутника можна побудувати коло, описане або вписане. Описане коло проходить через усі вершини трикутника, а вписане коло дотикається до всіх трьох сторін трикутника.

Описане коло трикутника

Описане коло — це коло, що проходить через усі вершини трикутника. Таке коло завжди існує і до того ж єдине. Тож можемо сказати, що через будь-які три точки, які не лежать на одній прямій, проходить рівно одне коло.

Щоб побудувати коло, описане навколо трикутника, потрібно знати поняття серединного перпендикуляра до сторони. Серединний перпендикуляр до сторони c — це пряма, яка перпендикулярна до сторони c і водночас проходить через середину сторони c, точку C1. Як знайти середину сторони, описано в статті про побудову медіан. Коли середина сторони є, можна провести через неї перпендикуляр і так отримати серединний перпендикуляр.

Кожен трикутник має три сторони, тож має й три серединні перпендикуляри. Ці серединні перпендикуляри перетинаються в одній точці, яку зазвичай позначають O. Ця точка і є центром описаного кола. Діємо так. На початку маємо якийсь трикутник і хочемо побудувати коло, описане навколо нього:

Звичайний трикутник

Спершу будуємо серединні перпендикуляри до всіх трьох сторін. Тобто знаходимо середини всіх трьох сторін, а тоді через кожну середину проводимо перпендикуляр.

Позначені серединні перпендикуляри (p_a, p_b, p_c) та точка їхнього перетину

Тепер залишається лише побудувати коло. Описане коло проходить через усі вершини, тож радіус такого кола знайти легко. Це відстань від центра O до будь-якої вершини. Позначаємо його R.

Коло, описане навколо трикутника

Вписане коло

Коло вписане в трикутник, якщо воно дотикається до всіх трьох сторін, тобто має з кожною стороною рівно одну спільну точку. Щоб знайти центр вписаного кола, потрібно знати поняття бісектриси кута, яке пояснено в окремій статті. Центр вписаного кола лежить у точці перетину всіх бісектрис кутів. Отже, на початку маємо звичайний трикутник. Будуємо бісектриси кутів:

Трикутник із бісектрисами кутів

Точка перетину O — це центр вписаного кола. Ще потрібно знайти радіус. До будь-якої сторони опускаємо перпендикуляр, який проходитиме саме через точку O.

Перпендикуляр до сторони c

Довжина відрізка OHc дорівнює радіусу вписаного кола, який позначаємо r. Тепер залишається лише побудувати коло:

Коло k, вписане в трикутник ABC