Як побудувати трикутник

Трикутник — це многокутник, що має рівно три сторони. Ці сторони позначають малими літерами, зазвичай a, b, c. Трикутник також має три вершини, які позначають великими літерами, зазвичай A, B, C. Сторона a тоді відповідає відрізку BC, сторона b — відрізку AC, а сторона c — відрізку AB. Сторона a завжди лежить навпроти вершини A, і так само для інших сторін.

Відомі всі три сторони

Якщо відомі довжини всіх трьох сторін, то побудувати трикутник — справжня дрібниця. Обираємо одну зі сторін, наприклад AB, і будуємо її як звичайний відрізок. Потім треба знайти, де лежить третя вершина. Це робиться просто: беремо циркуль, ставимо його вістря в точку B і проводимо коло з радіусом, що дорівнює довжині сторони BC, скажімо, п'ять сантиметрів. Так ми дізнаємося, де взагалі може лежати точка C, щоб вона була на відстані рівно п'ять сантиметрів від точки B. Потім те саме робимо зі стороною AC і точкою A. Тепер маємо два кола, а їхня точка перетину — це точка, що має від вершини A потрібну відстань у сантиметрах і від точки B так само.

Відомі дві сторони й висота

Кожна сторона трикутника має свою висоту, яку означають як перпендикуляр, проведений із протилежної вершини до цієї сторони. Якщо цей перпендикуляр не перетинає сторону безпосередньо, потрібно продовжити сторону до місця, де вона перетинається з перпендикуляром. Отже, основна властивість висоти — вона перпендикулярна до сторони, до якої проведена. Це часто використовують в обчислювальних задачах, бо можна застосувати теорему Піфагора. Висоту до сторони c зазвичай позначають малою літерою h із нижнім індексом, який указує, до якої сторони проведено висоту. Тобто в нашому випадку h_c. Основу перпендикуляра (точку перетину сторони з перпендикуляром) позначають подібно, лише замість малої h пишуть велику H: H_c.

Висоту ми провели з вершини C. Друга точка лежить на протилежній стороні AB (тобто стороні c), а відрізок CH_c перпендикулярний до сторони c. Точку H_c називають основою висоти, а сторону c — основою трикутника. Основу висоти зазвичай називають літерою H із нижнім індексом, де вказано вершину, з якої виходить висота. У цьому випадку це вершина C.

Висоту будувати досить легко: береш косинець і проводиш перпендикуляр до сторони c так, щоб він пройшов саме через точку C. Це все.

Висоту можна провести з кожної вершини трикутника. Усі висоти перетинаються в точці, яку називають ортоцентром. Ортоцентр може лежати всередині трикутника, а може й не лежати. У гострокутному трикутнику ортоцентр лежить усередині трикутника.

Відомі дві сторони й медіана

Окрім висоти, кожен трикутник має ще три медіани. Медіана — це відрізок, що сполучає вершину із серединою протилежної сторони. Усі три медіани перетинаються в одній точці, яку називають центром ваги (точкою перетину медіан). Ця точка ділить кожну медіану у відношенні 2 : 1 — частина медіани від вершини до центра ваги вдвічі більша за частину від центра ваги до середини сторони. Медіани позначають малою літерою m з нижнім індексом сторони, до якої вони проведені, а середини сторін BC, AC і AB — відповідно A₁, B₁ і C₁. Центр ваги зазвичай позначають однією великою літерою M.

Якщо відомі дві сторони й медіана, проведена до однієї з цих двох сторін, то трикутник побудувати дуже легко. Знову починаємо з побудови сторони AB, а потім знаходимо, де лежить точка C, провівши два кола: перше з центром у точці B (або A, якщо відома довжина AC), а друге з центром у середині сторони AB. Точка, у якій кола перетинаються, і є шукана точка C. Побудова така сама, як і в першому випадку, лише замість трикутника ABC ми спершу будуємо трикутник C₁BC, із якого й знаходимо шукану вершину C.

Відомі дві сторони й інша медіана

Спершу подивися на рисунок, як це приблизно має виглядати:

Червоним позначено величини, які нам відомі, і за ними треба побудувати весь трикутник. Побудова така: добудуємо цей трикутник до чотирикутника, а за чотирикутником уже добудуємо решту. Це чітко пояснює наступний рисунок (нагадую, що довжина BD дорівнює подвоєній довжині m_b).

Цей чотирикутник будуємо просто. Спершу будуємо трикутник ABD. Довжину сторони AB ми знаємо, довжина сторони BD дорівнює 2m_b, а довжина AD така сама, як довжина BC. Точку C знаходимо або так: знаходимо точку B₁, що є серединою відрізка BD, і далі будуємо промінь AB₁, а довжина AC дорівнює 2AB₁. Другий спосіб — побудувати пряму, паралельну стороні AB; точка C лежатиме на цій прямій і буде віддалена від точки D на |AB|.