✖

Коло

Kapitoly: Коло, Кут, що спирається на діаметр (коло Фалеса)

Коло — це крива, усі точки якої розташовані на однаковій відстані від заданої точки, центра кола. Коло також належить до конічних перерізів.

Опис кола

Роздивися рисунок кола:

Коло з позначеними діаметром і радіусом

Коло зазвичай позначають малою літерою k або l.

  • Кожне коло має центр, його позначають O.
  • Усі точки кола лежать від центра O на однаковій відстані, її називають радіусом кола і позначають r. На рисунку це відрізок AO.
  • Відрізок, що сполучає дві різні точки кола, називають хордою. На рисунку це відрізок FG.
  • Хорда, що проходить через центр O, називається діаметром кола і позначається d. Виконується рівність 2r = d.

Далі розглядають внутрішню й зовнішню області кола. Внутрішня область — це множина всіх точок, відстань яких до центра менша за радіус кола. Зовнішня область — усі точки, відстань яких до центра більша за радіус. Якщо об'єднати коло та його внутрішню область, отримаємо круг.

Довжина кола та площа круга

Яке співвідношення між діаметром кола та його довжиною? У скільки разів довжина кола більша за його діаметр? Якщо взяти якийсь круг і спробувати виміряти його діаметр, а потім довжину кола, виявиться, що приблизно в три рази. Точніше, у 3{,}1415 раза, а ще точніше — у π разів.

Число π (читаємо «пі») називається числом Людольфа. Це ірраціональне число, тобто число з нескінченним неперіодичним десятковим розкладом. Тому якщо діаметр кола — деяке ціле число, його довжину ніколи не вдасться знайти цілком точно. У повсякденному житті, утім, цілком досить знати наближене значення.

Формула довжини кола має такий вигляд:

$$L=\pi d=2\pi r$$

Формула площі круга:

$$S=\pi r^2$$

Взаємне розміщення двох кіл

  • Концентричні кола мають спільний центр O. Концентричні кола Кола, які не мають спільного центра, називають неконцентричними. Відрізок, що сполучає їхні центри, називається лінією центрів.

  • Коло k1 лежить у зовнішній області кола k2, кола не мають жодної спільної точки. Коло k_1 лежить у зовнішній області кола k_2

  • Коло k1 лежить у зовнішній області кола k2, але кола дотикаються в одній точці. Кола дотикаються в одній точці

  • Кола перетинаються у двох точках. Кола перетинаються у двох точках

  • Коло k1 лежить у внутрішній області кола k2 і вони дотикаються в одній точці. Коло k_1 лежить у внутрішній області кола k_2

  • Коло k1 лежить у внутрішній області кола k2. Коло k_1 лежить у внутрішній області кола k_2

Дуги

Кожна хорда з кінцями A і B ділить коло на дві частини, які називаються дугами. Кожна точка кола, крім точок A і B, є внутрішньою точкою однієї з дуг. Дугу позначають, наприклад, AXB, де X — внутрішня точка дуги.

Дуга AXB

Якщо хорда водночас є діаметром, вона ділить коло на дві рівні дуги, які називаються півколами. В іншому разі коло завжди ділиться на дві дуги різної величини.

Два півкола AX_2B і AX_1B

Центральний кут

Нехай задано коло k із центром у точці O та дугу AB. Тоді кут AOB називаємо центральним кутом над дугою AB. Над меншою дугою розташований опуклий центральний кут (кут менший за $180^{\circ}$), над більшою дугою — неопуклий кут (більший за $180^{\circ}$).

Коло з центральними кутами

На рисунку позначено дві дуги AB кола. Більшій дузі відповідає кут α, меншій — β.

Вписаний кут

Нехай задано коло k із центром у точці O та дугу AB. Виберімо ще точку V, яка не належить цій дузі, але лежить на колі. Тоді кут AVB називається вписаним кутом.

Коло з позначеними вписаними кутами

На рисунку є два вписані кути, AV1B і AV2B. Зауваж, що обидва мають однакову величину — $60^{\circ}$ — і що ця величина вдвічі менша за величину центрального кута — $120^{\circ}$.