Квадрат

Квадрат — це основна геометрична фігура, яка має чотири однакові за довжиною сторони, а кожен внутрішній кут дорівнює рівно 90 градусів. Існує також метод, який називається методом виділення повного квадрата.

Опис

Приклад квадрата можна побачити на наступному рисунку.

Кожен квадрат складається з чотирьох вершин; у нашого це вершини A, B, C, D. На рисунку їх позначено синім. У такому разі говоримо про квадрат ABCD. Ці вершини з'єднано відрізками так, що вони утворюють чотири сторони квадрата. Конкретно це сторони AB, BC, CD, DA. На рисунку ці сторони позначено товстими лініями. Кожна з цих сторін має однакову довжину, а саме п'ять.

Кожна сторона утворює з сусідніми сторонами прямий кут, тобто кут величиною 90 градусів.

Діагоналі квадрата

Зеленими відрізками позначено діагоналі. Кожен квадрат має дві діагоналі, у цього це діагоналі AC і DB. Діагональ — це відрізок, що сполучає дві протилежні вершини квадрата. Ще кілька фактів про діагоналі:

• Діагональ завжди довша за сторону квадрата.
• Точніше: якщо сторона квадрата має довжину a, то діагональ d має довжину $|d|=a\cdot\sqrt{2}$. Це лише застосування теореми Піфагора.
• Діагоналі завжди перетинаються в центрі квадрата (у центрі ваги).
• Діагональ ділить квадрат на дві половини. Обидві діагоналі разом ділять квадрат на чотири чверті.
• Діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Якщо позначити центр квадрата точкою O (як на рисунку), то довжина відрізка AO дорівнює довжині відрізка CO.
• Діагональ ділить навпіл кут між сусідніми сторонами. Наприклад, на рисунку кут ABC має величину 90 градусів, а кут ABD — 45 градусів.
• Діагоналі перетинаються під прямим кутом.

Периметр і площа

Периметр — це довжина межі квадрата, тобто сума довжин усіх сторін. Отже, якщо сторони квадрата мають довжину a, то периметр дорівнює 4 · a. Площа — це величина поверхні, яку займає квадрат. Береш довжину однієї сторони й множиш на довжину сусідньої сторони. Але оскільки в квадрата всі сторони однакові, можна просто помножити a · a. Ще раз підсумуємо:

$$\begin{eqnarray} (\mbox{периметр})\quad P &=&4\cdot a\\ (\mbox{площа})\quad S&=&a\cdot a=a^2 \end{eqnarray}$$

Наприклад, квадрат із попереднього рисунка має периметр 4 · 5 = 20 і площу 5 · 5 = 25.

Положення квадрата

Чи є наступна фігура квадратом?

Попередня фігура — квадрат, бо має чотири сторони, усі однакової довжини, і кожна сторона утворює з кожною сусідньою прямий кут. Якщо квадрат повернути, він і далі залишиться квадратом. Але якщо, наприклад, змінити величини кутів, то це вже не буде квадрат:

Чотири вершини, чотири однакові за довжиною сторони, але не всі кути прямі, тож це не квадрат.

Як побудувати квадрат

Квадрат будують легко й просто. Єдине, що потрібно знати, — це довжину сторони. Якщо довжина сторони, скажімо, три сантиметри, то спершу будуєш відрізок довжиною три сантиметри. Його кінцеві точки позначаєш як вершини A і B (або як завгодно). Потім за допомогою лінійки (чи косинця) відміряєш прямий кут і будуєш із точок A і B два перпендикулярні відрізки в бажаному напрямку. Ці відрізки теж матимуть довжину три. Нові точки познач C і D. Наприкінці з'єднай відрізком точки C і D.

Описане та вписане коло

Описане та вписане коло — два поняття, які трапляються разом із квадратами. Обидва кола мають центр у центрі квадрата, тобто в точці перетину діагоналей.

Описане коло — це коло, що проходить через усі вершини квадрата. Його радіус дорівнює AO, де A — довільна вершина квадрата, а O — центр.

Вписане коло — це коло, що дотикається до всіх сторін квадрата. Його радіус дорівнює a/2, де a — довжина сторони квадрата.

Квадратний метр

З квадратом пов'язана й основна одиниця площі — квадратний метр. Що це означає? Якщо кажемо, що якась поверхня має площу один квадратний метр, то це означає, що її площа така сама, як у квадрата зі стороною один метр. Якщо кімната має площу 10 квадратних метрів, то в ній вміститься десять таких квадратів зі стороною один метр. Зверни увагу: це не площа квадрата зі стороною 10 метрів! Наочно це показано на наступному рисунку:

Якщо взяти квадрат зі стороною 10 метрів, то це була б одиниця ар. А квадрат зі стороною 100 метрів — це гектар.