Кут

Якщо маєш якийсь кут і хочеш скопіювати його в інше місце, можеш скористатися методом перенесення кутів.

Що таке кут

Означення кута — справа не зовсім проста, існують різні версії. Але для наших потреб вистачить такого варіанта: кут — це частина площини, обмежена двома променями зі спільним початком. У цьому означенні важливо, що кут — це не лише ті дві сторони, а вся та частина площини, яку ці дві сторони охоплюють. Дивись наступний рисунок:

Попередній рисунок, однак, був не зовсім правдивим, бо ми не уточнили, який саме кут маємо на увазі. На перший погляд під кутом ABC можна уявити згадану частину площини, але так само можна уявити й другу частину площини:

Тому під час запису кутів слід розрізняти, чи йдеться про опуклий кут (той, що менший за $180^{\circ}$), чи про неопуклий (більший за $180^{\circ}$). Неопуклий кут можна також назвати увігнутим. Це можна записувати, наприклад, за допомогою орієнтованого кута.

Кут може мати додатну або від'ємну орієнтацію. У додатному напрямку ми рухаємося проти годинникової стрілки, а у від'ємному — за годинниковою стрілкою. Отже, у записі кута ABC першим згадано промінь BA, а другим — промінь BC. У додатному напрямку ми дивимося на промінь BA і рухаємося далі проти годинникової стрілки. У нашому прикладі вгорі вийшов би перший рисунок, опуклий кут. Якби ми обрали від'ємний напрямок, то отримали б неопуклий кут, тобто другий рисунок. Стандартно беруть додатний напрямок, і в цій статті записи теж подано в додатному напрямку.

Отже, кут складається з двох сторін, які його обмежують, із вершини кута, з якої виходять ці промені, і з частини площини, яку обмежують сторони кута. Якщо маємо кут ABC, його сторони — BA і BC, а вершина — B.

Величина кута

Так само як можна виміряти довжину відрізка, можна виміряти й величину кута. Її вимірюють або в звичайній градусній мірі, яку ти напевно знаєш, або в радіанній мірі. Градусна міра проста: $90^{\circ}$ — це прямий кут (наприклад, усі внутрішні кути квадрата по $90^{\circ}$), $180^{\circ}$ — розгорнутий кут (його утворюють, скажімо, протилежні промені), а $360^{\circ}$ — повний кут (його утворюють промені, що лежать один на одному, — такий кут утворений усією навколишньою площиною). Градус ділиться далі на хвилини (позначаються ′) і секунди (позначаються ″). В одному градусі 60 хвилин, а в одній хвилині шістдесят секунд. $1^{\circ} = 60′$ і 1′ = 60″.

Рисунки окремих кутів:

Радіанну міру уявити трохи важче, бо там ідеться про радіани, які є безрозмірними величинами. Про величину радіана та його інші властивості вже йшлося в статті про тригонометричні функції, тож повторюватися не буду.

Кути за величиною можна далі поділити на гострі, що менші за $90^{\circ}$, і тупі, що мають величину між $90^{\circ}$ і $180^{\circ}$. Це ніби підмножина опуклого кута, який ми показували вище. Більше за $180^{\circ}$ має неопуклий кут, який далі вже не ділиться.

Пари кутів

Деякі особливі пари кутів мають різні властивості, про які добре знати.

• Вертикальні кути — це кути зі спільною вершиною, сторони яких утворюють протилежні промені. Вертикальні кути завжди рівні, мають однакову величину.

• Суміжні кути — це кути, в яких одна сторона спільна, а другі сторони — протилежні промені. Сума суміжних кутів завжди дорівнює $180^{\circ}$, тобто розгорнутому куту.

• Відповідні кути — це кути, перші сторони яких паралельні, а другі лежать на одній прямій. Також має виконуватися умова, що кути мають однакову орієнтацію. Відповідні кути рівні.

Існують ще й інші типи кутів, але це вже лише різні положення, які можна вивести з цих трьох, описаних вище.

Дії з кутами

З кутами можна виконувати певні елементарні дії. Основна з них — додавання. У числах тут майже неможливо помилитися, ти просто додаєш величини кутів. Якщо кут більший за 360°, його зазвичай зводять до простішого вигляду, десь у проміжку $0^{\circ} - 360^{\circ}$. Тобто так, ніби ти працюєш у тристашістдесятковій системі числення. Так само, якщо в прикладі є хвилини чи секунди, треба рахувати в шістдесятковій системі (як на звичайному годиннику).

Для певності розгляньмо один приклад. Додай кути $\alpha = 183^{\circ} 51′$ і $\beta = 222^{\circ} 24′$. Спершу додаємо хвилини: $51′ + 24′ = 75′ = 1^{\circ} 15′$ (спосіб простий: ділиш 75 на шістдесят. Результат дає кількість градусів, а остача — кількість хвилин, що залишилися). Тепер додаємо градуси: $183^{\circ} + 222^{\circ} = 405^{\circ}$. До цього проміжного результату додаємо попередній: $405^{\circ} + 1^{\circ} 15′ = 406^{\circ} 15′$. Тепер цей кут зменшуватимемо на 360, доки він не потрапить у проміжок між 0 і 360. Зменшуємо тому, що коли ми обійдемо кут величиною $360^{\circ}$, то опиняємося знову на початку, а кут величиною $361^{\circ}$ на папері матиме таку саму величину, як кут $1^{\circ}$. Отримуємо таке обчислення: $406^{\circ} 15′ = 46^{\circ} 15′$.

• Вікіпедія