Медіана

Медіана, якщо спрощено, ділить набір значень так, щоб половина значень була менша за медіану, а друга половина — більша. Насправді все трохи складніше, і зараз ми в цьому розберемося.

Що таке медіана

Для медіани має значення, парна чи непарна кількість елементів сукупності. Якщо кількість елементів сукупності непарна, медіану отримуємо так: упорядковуємо всі значення від найменшого до найбільшого, і значення, що стоїть точно посередині, буде медіаною.

Для прикладу візьмемо набір чисел 75, 4, 2, 3, 2, 5, 1. Їх усього 7, а це непарне число. Упорядкуємо числа й отримаємо послідовність 1, 2, 2, 3, 4, 5, 75. Медіаною, яку позначимо $\mbox{Me}$, буде елемент, що стоїть посередині, тобто число 3. Загальна формула для сукупності X обсягу |X| = N, елементи якої x_i впорядковані від найменшого до найбільшого, мала б такий вигляд:

$$ \mbox{Me}(X) = x_{(N+1)/2} $$

Якщо спробувати це для нашого набору значень X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75], отримаємо:

$$ \mbox{Me}(X) = x_{(N+1)/2} = x_{(7+1)/2} = x_{8/2}=x_4=3 $$

Для парної кількості елементів потрібна невелика поправка, бо в парній послідовності значень немає «елемента посередині». Якщо з нашої сукупності прибрати одну двійку, отримаємо сукупність Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], і в ній немає жодного середнього елемента. Обидва числа, 3 і 4, стоять «однаково посередині». У цьому випадку беруть обидва елементи, що опинилися посередині, а медіаною буде їхнє середнє арифметичне. Медіаною значень Y буде значення (3 + 4)/2 = 3{,}5.

Загальна формула для значень X обсягу N з упорядкованими елементами x_i мала б такий вигляд:

$$ \mbox{Me}(X) = \frac{x_{N/2} + x_{(N/2)+1}}{2} $$

Якщо так обчислити медіану значень Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], де елементи позначимо y_i, отримаємо:

$$ \mbox{Me}(Y) = \frac{y_{N/2} + y_{(N/2)+1}}{2} = \frac{y_{6/2} + y_{(6/2)+1}}{2} = \frac{y_3 + y_4}{2} = \frac{3+4}{2}=3{,}5 $$

Переваги медіани

На відміну від середнього арифметичного, медіана не має проблем, якщо в наборі значень є крайні значення. У згаданому вище прикладі з набором X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75] ми отримали б середнє $92 / 7 \approx 13{,}1429$, а це доволі дивне значення, коли шість із семи елементів значно менші. Медіаною ж є розумне число три.

Медіану можна використовувати для будь-яких значень, які можна якось упорядкувати. Середнє ж можна знайти лише для значень, які вміємо додавати, а потім ділити. Для прикладу візьмемо розміри одягу: там зазвичай є послідовність на кшталт XS, S, M, L, XL, XXL. Середнє з таких значень знайти важко, бо не зрозуміло, як додати XS + L чи XL + L, і не зрозуміло, як потім це ділити. Проте якщо якась сукупність людей купила одяг розмірів S, S, M, L, L, L, XXL, то можемо сказати, що медіаною є розмір L. Проблема може виникнути, коли кількість розмірів парна, бо тоді середнього арифметичного не знайдеш. У такому разі зазвичай просто вибирають одне з двох середніх значень як медіану.