Середнє гармонійне

Середнє гармонійне — це один із видів середніх, який зазвичай використовують, коли працюють із відношеннями.

Середня швидкість

Для прикладу уявімо, що ми їздили потягом на екскурсію, і середня швидкість потяга була 120 км/год. Назад ми їхали теж потягом, тією самою дорогою, але цього разу потяг ледь плентався й ішов лише зі швидкістю 40 км/год. Якою була середня швидкість потяга за всю поїздку туди й назад разом? Спокусливо обчислити середню швидкість за допомогою середнього арифметичного так:

$$\large \frac{120\ \text{км/год}+40\ \text{км/год}}{2}=80\ \text{км/год}$$

і сказати, що середня швидкість була 80 км/год. Але це неправда. Це легко показати: нехай дорогою туди потяг їхав одну годину. Оскільки його середня швидкість була 120 км/год, за цю годину він проїхав рівно 120 км. Якщо дорогою назад він їхав із середньою швидкістю 40 км/год, то ці 120 км він долав 3 години. Разом потяг проїхав 240 км за 4 години. Звідси можна обчислити середню швидкість:

$$\large \frac{240\ \text{км}}{4\ \text{год}}=60\ \text{км/год}$$

Отже, середнє арифметичне нас підвело. Як треба обчислити середнє двох швидкостей, 120 і 40, щоб вийшов правильний результат?

Середнє гармонійне

Замість середнього арифметичного можна використати середнє гармонійне. Його обчислюємо так: складаємо дріб, у чисельнику якого стоїть кількість величин, із яких шукаємо середнє, — у нашому випадку 2, бо маємо дві швидкості:

$$\large\frac{2}{?}$$

А в знаменник ставимо суму обернених чисел до обох швидкостей. Якщо швидкість дорівнює 120, то обернене до неї число — це 120⁻¹, тобто $\frac{1}{120}$. Отримуємо дріб

$$\large\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

Дроби в знаменнику зводимо до спільного знаменника:

$$\large\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

Тепер дроби легко додати:

$$\large\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

Цей дріб виглядає дивно, але все закінчиться добре, не бійся. Перетворимо дріб на добуток так:

$$\large\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot\frac{120}{4}$$

Якщо це перетворення тебе збентежило, згадай, що ділити на одну другу — те саме, що множити на два. Тож коли ми ділили двійку на дріб $\frac{4}{120}$, це те саме, що множити двійку на обернений дріб $\frac{120}{4}$. Тепер залишилося трохи спростити дріб, і ми отримаємо результат:

$$2\cdot\frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

Середнє гармонійне вийшло 60, а це правильний результат.

Загальна формула середнього гармонійного

Нехай маємо n чисел x₁, x₂, …, x_n. Тоді їхнє середнє гармонійне H обчислюємо так:

$$\large H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n}}$$

Якщо тобі подобається запис за допомогою сум, середнє гармонійне можна записати й так:

$$\large H=\frac{n}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

Для прикладу, середнє гармонійне чотирьох значень 1, 2, 3, 4 дорівнює

$$\begin{eqnarray} H &=& \frac{4}{\frac11+\frac12+\frac13+\frac14}\\ &=& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ &=& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ &=& 4\cdot\frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1{,}92\\ \end{eqnarray}$$