Середнє геометричне

Уяви, що хочеш купити нове авто, наприклад Ford Mustang. Ти давно на нього задивляєшся й щороку записуєш, наскільки воно подорожчало порівняно з минулим роком. Першого року авто коштувало мільйон гривень, уже другого року подорожчало на 25 %, наступного — на 5 %, четвертого — на 10 %, а тепер, п'ятого року, — на 20 %. Обчислити, скільки авто коштує нині, можна так: відсотки перетворюємо на множники ціни, тобто «подорожчання на 25 %» записуємо як «попередня ціна помножити на 1,25». Поточна ціна Ford Mustang тоді дорівнює

$$1\ 000\ 000\cdot1{,}25\cdot1{,}05\cdot1{,}1\cdot1{,}2=1\ 732\ 500$$

Ціна Mustang за п'ять років — 1 732 500 грн. А тепер можна запитати: яким було середнє щорічне подорожчання авто? Першого року авто подорожчало в 1,25 раза, другого — в 1,05 раза і так далі. Яким було середнє подорожчання? Якби ми скористалися звичайним середнім арифметичним, вийшла б нісенітниця. Середнє арифметичне значень 1{,}25, 1{,}05, 1{,}1 і 1{,}2 дорівнювало б

$$\frac{1{,}25+1{,}05+1{,}1+1{,}2}{4}=\frac{4{,}6}{4}=1{,}15$$

Спробуймо тепер обчислити ціну авто, якби його ціна чотири роки поспіль зростала в 1,15 раза:

$$1\ 000\ 000\cdot1{,}15\cdot1{,}15\cdot1{,}15\cdot1{,}15=1\ 749\ 006{,}25$$

Вийшло інше число! Отже, 1{,}15 (тобто 15 %) — неправильна відповідь, це не правильне середнє щорічне подорожчання. Середнє арифметичне не здатне відповісти на це запитання. Потрібно використати середнє геометричне.

Як обчислити середнє геометричне

На скільки відсотків авто подорожчало за ці роки? Обчислимо це, перемноживши всі множники подорожчання:

$$1{,}25\cdot1{,}05\cdot1{,}1\cdot1{,}2=1{,}7325$$

Отже, за чотири роки Ford Mustang подорожчав у 1{,}7325 раза. А тепер, по суті, питаємо: яке число, узяте множником чотири рази, дасть 1{,}7325? Це корінь четвертого степеня із числа 1{,}7325. Перевіримо:

$$\sqrt[4]{1{,}25\cdot1{,}05\cdot1{,}1\cdot1{,}2}=\sqrt[4]{1{,}7325}\approx1{,}147277$$

Спробуймо тепер чотири рази помножити ціну авто на це число:

$$1\ 000\ 000\cdot\sqrt[4]{1{,}7325}\cdot\sqrt[4]{1{,}7325}\cdot\sqrt[4]{1{,}7325}\cdot\sqrt[4]{1{,}7325}=1\ 732\ 500$$

Тепер усе сходиться, тож число $\sqrt[4]{1{,}7325}$ і є правильним середнім щорічним подорожчанням авто.

Формула середнього геометричного

Якщо маємо n чисел x₁, x₂, …, x_n, то середнє геометричне G обчислюємо як

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}$$

Або, рівносильно, це можна записати так:

$$G=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}$$

Наприклад, середнє геометричне чисел 1, 2, 3, 4, 5 ми обчислили б як

$$\sqrt[5]{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}=\sqrt[5]{120}\approx2{,}6$$