Правило трьох

Правило трьох застосовують у простих обчисленнях із прямою та оберненою пропорційністю. Здебільшого відомі три взаємопов'язані величини, а четверту треба знайти. У задачах на правило трьох потрібно уважно розрізняти пряму й обернену пропорційність, бо розв'язуються вони по-різному. Таку задачу зводять до пропорції — рівності двох відношень.

Мотивація

Уяви, що ти йдеш до магазину по лимонад. За 100 гривень можна купити 5 пляшок лимонаду. Скільки пляшок можна було б купити, якби в тебе було 200 гривень? Це типова задача, яку розв'язують за правилом трьох.

Тут можна міркувати просто — в першому випадку в нас було 100 гривень, у другому 200 гривень. Тож логічно очікувати, що коли в нас удвічі більше гривень, то й пляшок ми купимо удвічі більше. За 200 гривень ми б купили 2 · 5 = 10 пляшок лимонаду.

Попереднє міркування «що більше… то більше» не завжди очевидне, адже можна взяти такий приклад: 10 будівельників збудують будинок за чотири місяці. За скільки місяців збудують будинок 20 будівельників? Якщо скористатися попереднім міркуванням — будівельників удвічі більше, тож і місяців буде удвічі більше — вийде, що 20 будівельників збудують будинок за 2 · 4 = 8 місяців.

Це міркування, звісно, неправильне, адже що більше будівельників, то менше місяців піде на будівництво. Діяти треба навпаки: удвічі більше будівельників збудують будинок удвічі швидше. Так ми отримаємо правильний результат: 20 будівельників збудують будинок за 4/2 = 2 місяці.

Ці два різні способи мають і свої назви: пряма та обернена пропорційність.

Пряма пропорційність

Якщо виконується «що більше… то більше», маємо пряму пропорційність. Приклади:

• Що більше в нас грошей, то більше лимонаду, огірків чи самокатів ми можемо купити.
• Що більше статей напише журналіст, то більше грошей він заробить.
• Що більше копачів копатиме, то більше вони накопають.
• Що довше працює насос, то більше води він викачає.

Приклад: Автомобіль витрачає 6 літрів бензину на 100 кілометрів. Скільки літрів бензину він витратить, проїхавши 250 кілометрів? Це задача на пряму пропорційність, бо що більше автомобіль проїде, то більше бензину витратить.

Розв'язання: спочатку запишемо, що нам відомо. Скористаємося такою таблицею, у якій наочно видно, що відомо і що треба обчислити:

$$\begin{eqnarray} 100\mbox{ км}&\quad…\quad&6 \mbox{ літрів}\\ 250\mbox{ км}&\quad…\quad&x\mbox{ літрів} \end{eqnarray}$$

У першому рядку записано дані, які нам цілком відомі. У другому рядку праворуч стоїть невідома величина, а ліворуч — значення, для якого ми хочемо її знайти. В одному стовпчику завжди мають стояти однакові величини, у нашому випадку в стовпчику мають бути або лише кілометри, або лише літри.

Є підказка, яка допоможе розв'язати цю задачу. Спочатку намалюй праворуч стрілку знизу вгору, ось так:

$$\begin{eqnarray} 100\mbox{ км}&\quad…\quad&6 \mbox{ літрів}\\ 250\mbox{ км}&\quad…\quad&x\mbox{ літрів}\quad\uparrow \end{eqnarray}$$

Якщо це пряма пропорційність, то ліворуч малюємо таку саму стрілку, знизу вгору:

$$\begin{eqnarray} \quad100\mbox{ км}&\quad…\quad&6 \mbox{ літрів}\\ \uparrow\quad250\mbox{ км}&\quad…\quad&x\mbox{ літрів}\quad\uparrow \end{eqnarray}$$

Далі складаємо дроби зі стовпчиків у напрямку стрілок. Чисельник — це число, звідки стрілка починається, а знаменник — число, де вона закінчується. Ці дроби прирівнюємо. З першого стовпчика (кілометри) отримуємо дріб $\frac{250}{100}$, а з другого (літри) — дріб $\frac{x}{6}$. Запишемо це як рівняння, тобто пропорцію:

$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$

Це звичайне лінійне рівняння, яке можна розв'язати рівносильними перетвореннями. Помножимо обидві частини рівняння на шість, щоб позбутися дробу в правій частині:

$$6\cdot\frac{250}{100}=x$$

Тепер залишилося обчислити x:

$$x=6\cdot\frac{250}{100}=6\cdot\frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Відповідь: проїхавши 250 кілометрів, автомобіль витратить 15 літрів бензину.

Обернена пропорційність

Якщо виконується «що більше … то менше», маємо обернену пропорційність. Приклади:

• Що більше людей ділить піцу, то менший шматок отримає кожен.
• Що швидший у нас інтернет, то швидше ми завантажимо фільм.
• Що швидше ми їдемо, то раніше потрапимо до місця призначення.
• Що більше працівників працює над будинком, то раніше його збудують.

Приклад: На твоєму комп'ютері інтернет зі швидкістю 2 МБ за секунду, і фільм завантажується за 450 секунд. За скільки секунд він завантажився б, якби швидкість інтернету була 6 МБ за секунду?

Розв'язання таке саме, як і для прямої пропорційності — запишемо дані в наочну таблицю:

$$\begin{eqnarray} 2\mbox{ МБ/с}&\quad…\quad&450 \mbox{ секунд}\\ 6\mbox{ МБ/с}&\quad…\quad&x\mbox{ секунд} \end{eqnarray}$$

Тепер стрілки. Права стрілка, як і раніше, іде знизу вгору, тут нічого не змінюється. Але оскільки це обернена пропорційність, ліва стрілка піде в протилежному напрямку, згори вниз.

$$\begin{eqnarray} \quad2\mbox{ МБ/с}&\quad…\quad&450 \mbox{ секунд}\\ \downarrow\quad6\mbox{ МБ/с}&\quad…\quad&x\mbox{ секунд}\quad\uparrow \end{eqnarray}$$

Далі дії ті самі — із цієї таблиці складаємо дроби, знову за напрямком стрілок. Отримаємо дроби $\frac26$ і $\frac{x}{450}$, які прирівнюємо:

$$\frac26=\frac{x}{450}$$

Помножимо рівняння на 450:

$$450\cdot\frac26=x$$

І обчислимо x:

$$x=450\cdot\frac26=450\cdot\frac13=\frac{450}{3}=150$$

Відповідь: із швидшим з'єднанням фільм завантажиться за 150 секунд.

Зауваж, що розв'язання узгоджується з інтуїцією. В останньому кроці ми ділимо 450 на три, і це очікувано. Швидкість зросла з 2 МБ/с до 6 МБ/с, тобто втричі, отже, швидкість утричі більша. Тому ми й чекали б, що час завантаження фільму буде втричі меншим $\rightarrow$ а саме це й виражає дріб $\frac{450}{3}$.

Приклади

Перший приклад: Номер в одному розкішному готелі коштує десять тисяч п'ятсот гривень за сім ночей. Скільки коштуватиме такий самий номер, якщо ми захочемо оселитися там на дванадцять днів?

Спочатку запишемо дані в таблицю:

$$\begin{eqnarray} 7\mbox{ днів}&\quad…\quad&10{,}500 \mbox{ гривень}\\ 12\mbox{ днів}&\quad…\quad&x\mbox{ гривень} \end{eqnarray}$$

Тепер треба вирішити, пряма це чи обернена пропорційність. Чи правда, що за довше перебування ми заплатимо менше? Ні, навпаки — що довше ми там будемо, то більше заплатимо. Отже, це пряма пропорційність. Додамо стрілки:

$$\begin{eqnarray} \quad7\mbox{ днів}&\quad…\quad&10{,}500 \mbox{ гривень}\\ \uparrow\quad12\mbox{ днів}&\quad…\quad&x\mbox{ гривень}\qquad\quad\uparrow \end{eqnarray}$$

За стрілками складемо дроби:

$$\frac{12}{7}=\frac{x}{10{,}500}$$

Розв'яжемо рівняння:

$$\begin{eqnarray} \frac{12}{7}&=&\frac{x}{10{,}500}\\ 10{,}500\cdot\frac{12}{7}&=&x\\ x&=&10{,}500\cdot\frac{12}{7}\\ x&=&\frac{10{,}500\cdot12}{7}\\ x&=&18{,}000 \end{eqnarray}$$

Відповідь: номер на 12 днів коштуватиме 18,000 гривень.

Другий приклад: 10 школярів збирають полуниці й за день збирають 50 кілограмів. Скільки кілограмів полуниць за день зберуть 7 школярів?

Запишемо дані в таблицю:

$$\begin{eqnarray} 10\mbox{ осіб}&\quad…\quad&50 \mbox{ кг}\\ 7\mbox{ осіб}&\quad…\quad&x\mbox{ кг} \end{eqnarray}$$

Пряма це чи обернена пропорційність? У цьому прикладі є невеличка пастка: на відміну від попередніх, у рядку з невідомою школярів менше, ніж у першому рядку. Не дай цьому збити себе з пантелику, це все одно пряма пропорційність, адже що більше школярів, то більше зібраних полуниць. Або навпаки — що менше школярів, то менше полуниць. Це теж пряма пропорційність. Тож обидві стрілки йдуть знизу вгору.

$$\begin{eqnarray} 10\mbox{ осіб}&\quad…\quad&50 \mbox{ кг}\\ \uparrow\quad7\mbox{ осіб}&\quad…\quad&x\mbox{ кг}\quad\uparrow \end{eqnarray}$$

Складемо дроби:

$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$

і обчислимо x:

$$\begin{eqnarray} \frac{7}{10}&=&\frac{x}{50}\\ 50\cdot\frac{7}{10}&=&x\\ x&=&50\cdot\frac{7}{10}\\ x&=&5\cdot7\\ x&=&35 \end{eqnarray}$$

Відповідь: сім школярів за день зберуть 35 кілограмів полуниць.

Третій приклад: Середня довжина кроку Юрка — 80 см. Дорогою зі школи додому він порахував, що зробив 1300 кроків. Скільки кроків він зробив би, якби його крок був рівно метр?

Спершу таблиця. Зверни увагу, що в умові в нас 80 см і один метр. У таблиці ж потрібні дані в однакових одиницях, тому замість одного метра візьмемо 100 см — можна було б піти й іншим шляхом і записати 1 метр та 0,8 метра.

$$\begin{eqnarray} 80\mbox{ см}&\quad…\quad&1300 \mbox{ кроків}\\ 100\mbox{ см}&\quad…\quad&x\mbox{ кроків} \end{eqnarray}$$

А яка це пропорційність? Що довший крок, то менше кроків потрібно, щоб подолати певну відстань, тож це обернена пропорційність. Ліва стрілка йтиме згори вниз, права — знизу вгору.

$$\begin{eqnarray} 80\mbox{ см}&\quad…\quad&1300 \mbox{ кроків}\\ \downarrow\quad100\mbox{ см}&\quad…\quad&x\mbox{ кроків}\qquad\uparrow \end{eqnarray}$$

Дроби виглядатимуть так:

$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$

Виразимо й обчислимо x:

$$\begin{eqnarray} \frac{80}{100}&=&\frac{x}{1300}\\ 1300\cdot\frac{80}{100}&=&x\\ x&=&1300\cdot\frac45\\ x&=&\frac{1300\cdot4}{5}\\ x&=&1040 \end{eqnarray}$$

Відповідь: на ту саму відстань Юркові знадобилося б лише 1040 кроків.

Формули

Як видно з попередніх обчислень, розв'язання завжди однакове й веде до простих формул. Спершу запишемо таблицю в символах:

$$\begin{eqnarray} a&\quad…\quad&b\\ c&\quad…\quad&x \end{eqnarray}$$

Тоді маємо такі формули. Для прямої пропорційності:

$$x=b\cdot\frac{c}{a}$$

А для оберненої пропорційності:

$$x=b\cdot\frac{a}{c}$$