Додавання, віднімання, множення і ділення дробів

Дробом можна записати будь-яке раціональне число. Дріб складається з двох частин. Верхня називається чисельником, а нижня — знаменником. Існує також багатоповерховий дріб — це дріб, у чисельнику чи знаменнику якого стоїть ще один дріб. До речі, всі знаки між дробами (плюс, мінус, дорівнює тощо) пишуть неодмінно на рівні дробової риски, а не на рівні чисельника чи знаменника. А взагалі, чи знаєш ти, що п'ятеро з чотирьох людей мають проблеми з дробами?

Основна інформація

Дріб має такий вигляд:

$$\frac{\mbox{чисельник}}{\mbox{знаменник}}$$

Прикладом дробу може бути дріб

$$\frac25,$$

тобто дві п'ятих. Знаменник називається знаменником, бо він називає дріб. П'ята, третя, шоста частина… — це головна назва дробу, і походить вона від числа під дробовою рискою. Чисельник, навпаки, визначає кількість: у попередньому прикладі це були дві п'ятих. Ось і все про назви.

У чисельнику й знаменнику може стояти, власне, будь-яке число або знову дріб, але найчастіше ми зустрічаємо дріб, у якого і чисельник, і знаменник — натуральні числа.

Дріб — це лише інакше записане ділення: значення дробу обчислюємо, поділивши чисельник на знаменник. Отже, якщо маємо дріб $\frac{a}{b}$, то його значення — це число a/b. Попередній дріб (дві п'ятих) мав би значення 2/5, тобто 0{,}4.

Зведення до нескоротного дробу

З дробами можна по-різному працювати та змінювати їхній вигляд — розширювати їх і скорочувати, — і значення дробу при цьому не змінюється. Це легко уявити словами: одна друга має те саме значення, що й дві четвертих чи чотири восьмих. Усе тому, що дріб — це лише переодягнене ділення. А до числа «одна друга» можна дійти, поділивши кілька різних чисел. Чотири поділити на вісім — це одна друга. Десять поділити на двадцять — теж одна друга. Тому дроби

$$\frac12=\frac24=\frac36=\frac48=\ldots=\frac{10}{20}=\ldots$$

мають однакове значення.

Як бачимо, до інших дробів з тим самим значенням ми прийшли так: у початковому дробі 1/2 помножили на двійку і чисельник, і знаменник. Після множення вийшов дріб 2/4, дві четвертих. Якщо й у цього дробу помножити чисельник і знаменник на двійку, отримаємо дріб 4/8, чотири восьмих. Так ми розширювали дріб.

Дія, обернена до розширення, — скорочення дробів, коли і чисельник, і знаменник ділимо на те саме число. Щоб скоротити дріб, потрібно знайти число, на яке і чисельник, і знаменник діляться без остачі. Скорочення дробів на практиці використовують дуже часто, адже дріб після скорочення значно спрощується і з ним легше працювати. Якби ми мали дріб 12/18, то з першого погляду побачимо, що обидва числа парні, а отже, діляться на два. Звісно, дріб можна скоротити на два, але з другого погляду стає видно, що і чисельник, і знаменник діляться також на шість. Якщо скоротити дріб на шість, вийде простіший дріб, ніж після скорочення лише на два. Тому скорочуємо дріб на шість. Виходить дріб 2/3.

Цей дріб уже не можна скоротити далі: не існує числа (більшого за одиницю), на яке можна було б без остачі поділити і чисельник, і знаменник. Про дріб, який уже не можна скоротити, кажуть, що він нескоротний. Намагайся завжди працювати з нескоротними дробами: коли маєш справу з дробами, спершу подивись, чи не можна якісь із них скоротити. Заощадиш час. Ще один приклад:

$$\frac{24}{42}$$

На яке число ділиться і 24, і 42 одночасно? Обидва числа парні, тож точно на два. Поділимо і чисельник, і знаменник на два:

$$\frac{24}{42}=\frac{12}{21}$$

Чи існує якесь число, що ділить обидва числа одночасно? Так, цього разу трійка.

$$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

Чи ще існує якесь число, що ділить і чисельник, і знаменник? Ні, дріб нескоротний.

Множення дробів

Можливо, ти здивуєшся, але множення і ділення дробів простіші за додавання й віднімання. Щоб помножити два дроби, просто перемножуємо чисельник першого дробу на чисельник другого, а знаменник на знаменник. Це все. Приклад множення дробів:

$$\frac23\cdot\frac57=\frac{2\cdot5}{3\cdot7}=\frac{10}{21}$$

Під час множення дробів є ще один спосіб скорочення. Не обов'язково скорочувати лише в межах одного дробу, можна скорочувати навхрест. Якщо чисельник першого дробу можна скоротити зі знаменником другого дробу, зроби це, і множення спроститься. Приклад (числа, які скорочуємо, виділено):

$$\frac{\fbox{4}}{5}\cdot\frac{3}{\fbox{8}}=\frac15\cdot\frac32=\frac{3}{10}$$

Що ми зробили? І чотири, і вісім поділили на чотири. Значення добутку не змінилося. Якби ми не скоротили зараз, могли б скоротити після множення.

Множення дробу на ціле число зводиться до множення двох дробів: ціле число c записуємо як c/1:

$$\frac{3}{7}\cdot5=\frac37\cdot\frac51=\frac{3\cdot5}{7\cdot1}=\frac{15}{7}$$

Як бачимо, якщо множимо дріб на ціле число, достатньо помножити на це число чисельник дробу.

$$c\cdot\frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$$

Ділення дробів

Ділення дробів майже таке саме, як множення. Щоб поділити один дріб на другий, другий дріб (дільник) перевертаємо, тобто беремо обернений дріб, і далі дроби множимо як зазвичай. Простий приклад ділення дробів (зверни увагу, що після перевертання дробу можна скоротити 12 і 6):

$$\frac{12}{7},:,\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot\frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot\frac{11}{1}=\frac{22}{7}$$

Ділення ми звели до множення так: дріб $\frac{6}{11}$ перевернули на дріб $\frac{11}{6}$ і помножили на другий, незмінений дріб. Чому це працює? Достатньо уявити це на простішому прикладі, скажімо, ділення на одну другу. Якщо ділимо

$$\frac{10}{1/2}=?,$$

що ми насправді робимо? З'ясовуємо, скільки разів одна друга вміщується в десяти. У кожну одиницю половина вміщується рівно двічі (двічі по одній другій — це одиниця), тож у десяти вона вміститься двадцять разів. До того самого результату дійдемо, якщо помножимо два на десять — теж двадцять. А яке значення отримаємо, якщо перевернемо одну другу? Дві одиниці, тобто два.

$$\frac12\rightarrow\frac21=2$$

У підсумку маємо:

$$\frac{10}{1/2}=10\cdot\frac21=10\cdot2=20.$$

Додавання дробів

Додавання дробів буває трохи складнішим. Дроби можна додавати лише тоді, коли вони мають однаковий знаменник. Якщо знаменники різні, дроби потрібно звести до спільного знаменника. Після цього діємо просто як у випадку множення: додаємо чисельник першого дробу до чисельника другого. Але на відміну від множення, знаменник залишаємо той самий. Спершу приклад додавання дробів з однаковими знаменниками:

$$\frac12+\frac52=\frac62=3$$

Чи це має сенс? Одна друга плюс п'ять других дорівнює шести другим — це цілком логічно.

Якщо дроби мають різні знаменники, а так буває частіше, потрібно звести їх до спільного знаменника, тобто розширити один або обидва дроби так, щоб отримати однакові знаменники. Додамо такі два дроби:

$$\frac23+\frac52=?$$

Перший дріб має в знаменнику трійку, другий — двійку. Зараз додати їх важко, але якщо перший дріб розширити на два, у його знаменнику буде шістка, а якщо другий дріб розширити на три, у його знаменнику теж буде шістка. Тепер обидва дроби мають однаковий знаменник, і їх можна просто додати. Отже, першим кроком розширюємо дроби так, щоб вони мали спільний знаменник:

$$\frac23+\frac52=\frac{2\cdot2}{3\cdot2}+\frac{5\cdot3}{2\cdot3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}$$

А тепер просто додаємо чисельники, а знаменник залишаємо той самий:

$$\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}$$

Зверни увагу: під час додавання не можна скорочувати навхрест, як під час множення. Наприклад, після перетворення ми мали в знаменнику першого дробу шістку, а в чисельнику другого — п'ятнадцять. Проте скоротити на три не можна:

$$\frac{4}{\fbox{6}}+\frac{\fbox{15}}{6}\ne\frac42+\frac56$$

Таке скорочення ми могли б собі дозволити, лише якби ці дроби множили:

$$\frac{4}{\fbox{6}}\cdot\frac{\fbox{15}}{6}=\frac42\cdot\frac56$$

Як узагалі звести два дроби до спільного знаменника? Перший дріб розширюємо на знаменник другого дробу, а другий дріб розширюємо на знаменник першого дробу. У загальному вигляді це можна записати так:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}$$

Перший дріб ми розширили на вираз d, тобто на знаменник другого дробу. Другий дріб розширили на вираз b, тобто на знаменник першого дробу. Конкретний приклад:

$$\frac74+\frac98=\frac{7\cdot8}{4\cdot8}+\frac{9\cdot4}{8\cdot4}$$

Перший дріб ми розширили на вісім, другий — на чотири. Після цього дроби вже можна додати.

Загальна формула додавання дробів виглядає так:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$

Віднімання дробів

Віднімання дробів відбувається цілком так само, як додавання, лише отримані чисельники не додаємо, а віднімаємо. Тож попередню загальну формулу додавання перетворимо так:

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Конкретний приклад; спершу зводимо до спільного знаменника:

$$\frac79-\frac25=\frac{7\cdot5}{9\cdot5}-\frac{2\cdot9}{5\cdot9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}$$

А тепер просто віднімаємо чисельники, а знаменник залишаємо той самий:

$$\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}$$

Правило хреста

Для рівнянь можна використати правило хреста, яке спрощує рівність двох дробів. Насправді це не що інше, як два рівносильні перетворення даного рівняння. Отже, маємо рівняння з двох дробів

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Це рівняння можна перетворити так: помножити його на знаменник першого дробу, а потім і другого. Спершу помножимо рівняння на знаменник першого дробу, тобто на вираз b. Отримаємо

$$\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.$$

Потім помножимо рівняння на вираз d і отримаємо

$$\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.$$

У першому дробі скоротимо b, а в другому d. Результатом буде рівняння

$$ad=bc.$$

Це можна вважати формулою: якщо маємо рівняння у вигляді двох дробів, можемо перетворити його так:

$$\begin{eqnarray} \frac{a}{b}&=&\frac{c}{d}\rightarrow\\ ad&=&bc \end{eqnarray}$$

Далі йде приклад. На першому кроці розписуємо дроби за попередньою формулою, а на другому лише трохи спрощуємо вирази в обох частинах рівняння.

$$\begin{eqnarray} \frac{x+2}{x}&=&\frac{3x}{x+2}\\ (x+2)(x+2)&=&x\cdot3x\\ (x+2)^2&=&3x^2 \end{eqnarray}$$

Далі рівняння розв'язувалося б як звичайне квадратне рівняння, але це вже виходить за межі цієї статті.

Пов'язані теми

Дроби часто трапляються в задачах на спрощення виразів, про це йдеться в статті дробові раціональні вирази. Окремо існує алгоритм ділення многочлена на многочлен.