Додавання і віднімання

Додавання і віднімання — найпростіші математичні дії, які потрібні нам і в повсякденному житті. Додавати можна багато різних об'єктів, але тут ми розглянемо лише додавання цілих чисел.

Додавання

Дію додавання позначають знаком плюс +. Під час додавання ми додаємо доданки: якщо потрібно знайти 2 + 3, то і двійка, і трійка називаються доданками. Результат називається сумою, тобто п'ятірка у виразі 2 + 3 = 5 — це сума.

Додавати можна практично будь-які числа: натуральні, як-от 1, 5, 157, або від'ємні, наприклад -4, -74. Далі можна додавати раціональні числа, тобто дроби, дійсні числа, наприклад π, і, нарешті, навіть комплексні числа. Додавати можна й інші структури — матриці або вектори.

Додавання зазвичай пояснюють на купці яблук: якщо в кошику лежать три яблука і хтось дасть тобі ще чотири, скільки яблук у тебе буде? Буде 3 + 4 = 7.

Як додавати великі числа

Якби я попросив тебе додати 17564 і 3272, то навряд чи ти одразу назвав би результат усно. Тому використовують або калькулятор, або олівець і папір. Як натискати кнопки калькулятора, я пояснювати не буду, зосередимося на письмовому способі.

Числа, які потрібно додати, записуємо одне під одним і вирівнюємо за правим краєм — так, щоб однакові розряди (десятки, сотні, …) стояли один під одним. Під обома числами проводимо горизонтальну риску. Виглядатиме це так:

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline \end{array}$$

Тепер додаємо числа, що стоять одне під одним. Якщо сума менша за десять, просто пишемо її під рискою. Рухаємося справа, від найменшого розряду. Спершу додаємо 4 + 2, що дорівнює шести. Шість менше за десять, тому під рискою пишемо шістку:

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline &&&&6 \end{array}$$

Рухаємося далі, додаємо 6 + 7. Це 13, а це вже більше за десять. Тоді під рискою пишемо лише цифру розряду одиниць, тобто трійку (віднімаємо від тринадцяти десяток).

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline &&&3&6 \end{array}$$

Що сталося з одиницею, яку ми відкинули? Що вона означає? Зараз ми працюємо з другим стовпчиком справа, у якому стоять десятки. Фактично ми додавали десятки, тобто 60 + 70 = 130. Ми вирішили залишити 30, а 100 відкласти на потім. На коли? На наступний крок, на наступний стовпчик. У наступному кроці ми дійдемо до цифр, що відповідають сотням. І в нас є одна зайва сотня, яку ми отримали, додаючи десятки. Тож найпростіше — додати цю сотню в наступному кроці.

Отже, замість того щоб у наступному кроці додавати 5 + 2, додаватимемо 5 + 2 + 1, де одиниця — це сотня, яку ми отримали в попередньому кроці. Загальний результат — вісім, а це менше за десять. Тому під рискою пишемо вісімку.

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline &&8&3&6 \end{array}$$

До наступного кроку зайвої тисячі не переходить, тому додаємо лише 7 + 3 = 10. Це число не менше за десять, тож під рискою пишемо останню цифру, а одиниця йде далі. Під рискою пишемо нуль, а до наступного кроку запам'ятовуємо один зайвий десяток тисяч.

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline &0&8&3&6 \end{array}$$

В останньому стовпчику цифра є лише в першому рядку. У другому рядку уявляємо нуль і додаємо 1 + 0, не забуваючи додати одиницю з попереднього кроку: 1 + 0 + 1 = 2. Під рискою записуємо двійку.

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline 2&0&8&3&6 \end{array}$$

На цьому алгоритм закінчується, і ми маємо суму чисел 17564 + 3272.

Анімація письмового додавання

У поля нижче можеш уписати два натуральних числа, а потім просто стежити за анімацією всього процесу.

Додавання на числовій осі

Додавання можна зобразити на числовій осі. Числова вісь — це пряма, на якій позначено всі числа. Виглядати вона може так:

Якщо ми хочемо проілюструвати на цій осі додавання двох чисел, наприклад 3+4, діємо так: малюємо відрізок, що починається на початку відліку, тобто в нулі, і закінчується в трійці. Під час додавання відрізок напрямляємо праворуч від точки, де ми почали. Ось так:

Тепер відкладаємо на осі четвірку. Але тепер ми починаємо вже від трійки і звідти проводимо відрізок праворуч завдовжки чотири. Ось так:

Точка, в якій закінчився другий, зелений, відрізок, і є остаточним результатом: 3 + 4 = 7.

Віднімання

Віднімання — обернена дія до додавання. Якщо до якогось числа a додати число b, а потім відняти число b, отримаємо назад число a. Покажемо спосіб на прикладі 158 748 − 99 575. Як і під час додавання, записуємо ці числа одне під одним:

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline \end{array}$$

Під рискою пишемо результат, так само як і в додаванні. Рухаємося справа, від найменших розрядів. Тож спочатку працюємо з одиницями. Якщо верхнє число не менше за нижнє, під рискою записуємо різницю: верхнє число − нижнє число. (Або навпаки: якщо нижнє число менше або дорівнює верхньому, можна сміливо віднімати.) У розряді одиниць верхнє число не менше, тому пишемо різницю 8 − 5 = 3.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&&&&&3 \end{array}$$

Зміщуємося на одну цифру вліво, до розряду десятків. Тут верхнє число вже менше за нижнє. Тоді додаємо до верхнього числа десяток і далі виконуємо те саме обчислення: верхнє число + 10 − нижнє число. Результат буде 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&&&&7&3 \end{array}$$

Віднімаючи десятки, ми собі допомогли тим, що додали десять десятків, тож у наступному кроці про це треба пам'ятати. Десять десятків — це одна сотня, тому в наступному кроці віднімемо на одну сотню більше. Це означає, що до нижньої п'ятірки додаємо одиницю з попереднього кроку.

У розряді сотень перевіряємо, чи сімка (верхнє число) менша за шістку (нижнє число + 1). Ні, не менша, тож можемо знайти звичайну різницю: верхнє мінус нижнє. Але й тут до нижнього числа треба додати одиницю, тому в результаті маємо 7−(5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&&&1&7&3 \end{array}$$

До наступного кроку нічого не переносимо: у цьому кроці нам не довелося позичати старші розряди. У розряді тисяч нічого ні до чого не додаємо. Проте вісімка у верхньому числі менша за дев'ятку в нижньому, тому до верхнього числа треба додати десяток. Отримаємо різницю 8 + 10 − 9 = 9.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&&9&1&7&3 \end{array}$$

До наступного кроку переносимо одиницю і додаємо її до нижнього числа. Дев'ять плюс один — десять, а верхня п'ятірка менша за десять. До верхнього числа додаємо десять і знаходимо різницю: 5 + 10−(9 + 1) = 5.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&5&9&1&7&3 \end{array}$$

Знову ми скористалися старшим розрядом, тож переносимо одиницю до наступного кроку. Там унизу бракує цифри, тому вважаємо, що там нуль. Додавши одиницю, отримуємо одиницю. Верхнє число не менше за нижнє (тепер вони рівні), тому можемо просто відняти: 1 − 1 = 0.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &0&5&9&1&7&3 \end{array}$$

Ось і результат. Нуль на початку можна прибрати й записати: 158 748 − 99 575 = 59 173.

Віднімання на числовій осі

Віднімання, як і додавання, можна зобразити на числовій осі. Лише під час відкладання відрізка ми змінюємо його напрямок: відкладаємо відрізок не праворуч від поточної точки, а ліворуч. Тож якби нам потрібно було відняти 2 − 5, ми діяли б так. Спочатку відклали б на числовій осі двійку в додатному напрямку, бо двійка додатна. Віднімаємо п'ятірку, вона буде спрямована навпаки.

Тепер відкладаємо на осі другий відрізок, який зображує мінус п'ять. Починаємо в точці, де закінчили, тобто в двійці. Але відрізок креслимо назад, ліворуч.