Ділення чисел

Ділення чисел — дія, обернена до множення чисел. Водночас ділення — гарне джерело жартів, бо, як усі знають, на нуль ділити не можна, інакше згорить зошит.

Що таке ділення чисел

Ділення можна уявити як розподіл великого цілого на однакові менші частини. Припустімо, що тато має дошку завдовжки 100 см і хоче розрізати її на п'ять однакових частин. Якими будуть окремі частини?

Можна діяти навпаки: якщо додати довжини всіх п'яти відрізаних частин, мусить вийти назад число 100. Яке число цьому відповідає? Це число 20, бо 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. Замість додавання можна використати й множення. Можна спитати, яке число після множення на п'ять дає сто? Знову число 20, бо 5 · 20 = 100.

Графічно це можна зобразити як поділ відрізка завдовжки 100 на п'ять рівних частин:

Якщо ми хочемо поділити число 100 на число 5, то з'ясовуємо, «скільки разів п'ятірка вміщується в сотні». Ділення записуємо або за допомогою навскісної риски: 100 / 5, або за допомогою двокрапки: 100 : 5. Результат ділення двох чисел називається часткою. У наших прикладах число 20 — це частка чисел 100 і 5. Число ліворуч називається діленим, число праворуч — дільником. Ділення можна записати й за допомогою дробу: замість 100 / 5 можна написати $\frac{100}{5}$. Підсумок щодо назв:

$$ a : b = \frac{a}{b} = c $$

• a називається діленим,
• b називається дільником,
• c називається часткою.

Означення через множення

Частку найпростіше означити за допомогою множення. Для прикладу візьмемо частку таких чисел: 35 / 7. Який буде результат? Ми шукаємо таке число, яке після множення на 7 дає число 35. Якби ми ділили 48 / 8, то шукали б таке число, яке після множення на 8 дало б число 48.

Результат 35 / 7 — число 5, бо 7 · 5 = 35. Результат 48 / 8 — число 6, бо 8 · 6 = 48.

Якщо загалом ділимо a / b, то результат — число c, для якого виконується b · c = a.

Хоча всі приклади ми показували на натуральних числах, завдяки означенню через множення можна ділити й будь-які інші числа. Наприклад, можна знайти частку −85{,}76 / 6{,}7, знайшовши число x, для якого виконується 6{,}7 · x = −85{,}76. Це виконується для x = −12{,}8.

Нуль можна ділити на інше число

Нуль можна ділити на якесь число, цей вираз має зміст: 0 / 15. По суті, ми кажемо, що хочемо розділити нуль на 15 однакових частин. Можна уявити, що в нас немає жодного пирога, і цей пиріг, якого в нас немає, ми хочемо розділити на 15 частин — якими будуть окремі частини? Нульовими, бо ніякого пирога в нас просто немає. Або уяви, що в гаманці в тебе нуль гривень і ти хочеш розділити ці нуль гривень між трьома дітьми. Скільки отримає кожна дитина? Нічого, бо в тебе просто нічого немає. Тому 0 / 15 = 0.

Ділити нуль на інше число можна, але не можна ділити інше число на нуль. Цей вираз не має змісту: 8 / 0.

Чому ж не можна ділити на нуль?

На нуль ділити не можна, бо нам це забороняє одинадцята заповідь.

Але є й вагоміші причини. Поки що розглянемо випадок, коли ділене відмінне від нуля — ділення має вигляд a / 0, де a ≠ 0. Назвемо дві причини:

1. Залишимося при аналогії з розподілом цілого на менші однакові частини. У нас є 15 найсмачніших цукерок. Тепер хочемо розділити їх між нулем дітей. Скільки цукерок отримає кожна дитина?

Е???

Так, ти правильно читаєш умову, і так, вона не має сенсу. Не можна питати, скільки цукерок отримала кожна дитина, якщо в нас не було жодної дитини, якій ми могли б ці цукерки дати. Тому й ділення на нуль не має сенсу, і тому ми кажемо, що вираз x / 0 не визначений.

2. Ділення ми означили через множення. Коли ми намагаємося ділити на нуль, 15 / 0, то шукаємо якесь число x, для якого виконується x · 0 = 15. Але будь-яке число, помножене на нуль, дорівнює нулю, тож ми ніколи не знайдемо такого x, для якого це рівняння мало б зміст.

А що з часткою 0/0?

Вона не визначена так само, як x / 0. Причини:

Цього разу ми маємо нуль найсмачніших цукерок, які хочемо розділити між нулем дітей. Це знову безглузда вимога.

За означенням ділення, коли ми ділимо 0 / 0, то шукаємо таке число x, для якого виконується x · 0 = 0. Розв'язок ми знайшли б, а точніше: розв'язком цього рівняння є будь-яке дійсне число. Хоч яке число ми підставимо замість x, 4, 1 чи π, рівність справджуватиметься. Звісно, неприпустимо, щоб результатом ділення була ціла множина дійсних чисел, це не має сенсу.

Нам довелося б вибрати з усієї множини одне конкретне число і сказати, що саме воно є результатом ділення 0 / 0. Але яке? Чи має воно дорівнювати одиниці? Восьми? Нулю? Мінус одиниці? І чому? Спробуймо навести аргументи за нуль і за одиницю:

1. Ми знаємо, що якщо маємо дріб виду x / x, то цей дріб дорівнює одиниці. Наприклад, 7 / 7 = 1 або 3 / 3 = 1. Звідси можна було б зробити висновок, що 0 / 0 слід означити так, щоб виконувалося 0 / 0 = 1.
2. Погляньмо на таку послідовність безперечно правильних дробів. У кожному з них ми ділимо нуль на число, яке дедалі більше наближається до нуля:

$$\begin{eqnarray} \frac{0}{1} &=& 0\\ \frac{0}{0{,}1} &=& 0\\ \frac{0}{0{,}01} &=& 0\\ \frac{0}{0{,}001} &=& 0\\ \frac{0}{0{,}0001} &=& 0\\ &…&\\ \frac{0}{0{,}0000000001} &=& 0\\ &…&\\ \frac{0}{0} &=& 0?\\ \end{eqnarray}$$

Бачимо, що хоч на яке близьке до нуля число ми ділимо, у результаті частки все одно отримуємо нуль. З цього можна було б зробити висновок, що 0 / 0 = 0.

Обидва аргументи слушні для того, щоб означити частку 0 / 0. Але котрий із них кращий? Зрештою, навіть якби ми вибрали один із них і оголосили єдино правильним, ми все одно дійшли б суперечності з іншими частинами математики.

Тому ділення на нуль краще залишити невизначеним.

Остаточний аргумент проти ділення на нуль

Якщо попередніх аргументів тобі замало, то, сподіваємося, переконає наступна фотодокументація випадку, коли хтось справді намагався ділити на нуль: