Обчислення з відсотками

Відсотки зазвичай позначають певну відносну частину цілого, причому саме ціле виражають як 100 %. Відсотки завжди можна переписати у вигляді дробу.

Відсотки як частина цілого

Відсотки використовуємо, коли хочемо виразити частину якогось цілого. Відсотками можна замінити вирази на кшталт «чверть класу отримала двійку» чи «кожна друга людина — чоловік». Завжди маємо якесь ціле, наприклад, увесь клас учнів, і далі кажемо, що чверть із них отримала двійку. Якщо в класі 32 учні й чверть із них отримала двійку, то загальна кількість учнів, які отримали двійку, дорівнюватиме:

$$ \frac{1}{4}\cdot 32 = 8\quad \mbox{що те саме, що}\quad \frac{32}{4}=8 $$

У другому випадку розглянемо місто, скажімо, Ніжин. У ньому приблизно 60 000 мешканців. Якщо кожен другий мешканець — чоловік, це означає, що половина з них чоловіки, і запишемо це так:

$$ \frac{1}{2}\cdot 60, 000 = 30, 000 \quad \mbox{що те саме, що}\quad \frac{60{,}000}{2}=30{,}000 $$

Далі ми могли б сказати, що «кожен сотий у Ніжині — математик». Тоді в Ніжині було б $\frac{1}{100}\cdot60,000=600$ математиків. «Кожен сотий» — те саме, що «одна сота мешканців».

Тепер можемо ввести поняття відсотка. Один відсоток, позначаємо 1 %, — це одна сота цілого. Тобто коли кажемо «кожен сотий у Ніжині — математик» і «один відсоток людей у Ніжині — математики», то говоримо те саме. Один відсоток від цілого обчислюємо так: множимо ціле на $\frac{1}{100}$ або ділимо на 100, це одне й те саме.

Відсотки легко перетворювати на дроби і далі працювати з ними. Якщо сказати, що «у Ніжині x % людей мають темне волосся», це те саме, що сказати «у Ніжині $\frac{x}{100}\cdot60,000$ людей мають темне волосся». 100 % — це ціле, тобто всі мешканці. Речення «100 % учнів перейшли до наступного класу» означає, що перейшли всі учні. Речення «0 % учнів залишилися на другий рік» каже, що не залишився ніхто. Приклади:

1. 35,% мешканців Ніжина їздять автобусами. Скільки людей їздять автобусами? 35,% — це те саме, що $\frac{35}{100}$ цілого (= «тридцять п'ять сотих цілого»). Обчислимо так: $\frac{35}{100}\cdot 60,000$. Це легко порахувати: спершу поділимо 60 000 на сто, а результат помножимо на 35. По суті, робимо таке перетворення:

   $$ \frac{35}{100}\cdot 60{,}000 = \frac{35\cdot60{,}000}{100}=\frac{35\cdot600}{1}=35\cdot600=21{,}000 $$

   Можна уявити це й так: спершу обчислимо кількість мешканців, що відповідає одному відсотку: $\frac{1}{100}\cdot60,000=600$. Одному відсотку відповідає 600 мешканців. Нам потрібні 35 % мешканців, тож цих 600 мешканців просто помножимо на 35: 35 · 600 = 21,000.

2. Тарас у середньому заробляє 500 гривень на день. Сьогодні він заробив лише 75 % свого середнього заробітку. Скільки заробив Тарас? Хід той самий. Ціле — 500, а 75 % перетворимо на дріб $\frac{75}{100}$. Цей дріб ще можна скоротити до дробу $\frac{3}{4}$. Помножимо ціле на цей дріб:

   $$ \frac{3}{4}\cdot500=\frac{3\cdot500}{4}=3\cdot125=375 $$

3. Наступного дня Тарас надолужив і заробив 150 % свого середнього заробітку. Скільки він заробив? Чи можна взагалі мати більше за 100 %, якщо ми сказали, що 100 % — це ціле? Так, можна. Так само як хтось може заробити «втричі більше за середнє», хтось може заробити 150 % свого середнього.

   Діємо цілком так само. 150 % перетворимо на дріб $\frac{150}{100}$ і помножимо на цей дріб середній заробіток Тараса, тобто 500:

   $$ \frac{150}{100}\cdot500=\frac{150\cdot500}{100}=\frac{150\cdot5}{1}=150\cdot5=750 $$

Відсотки як пропорція

Частину цілого, виражену у відсотках, легко перетворити на пропорцію. Залишмося з Тарасом, який у середньому заробляє 500 гривень на день, а сьогодні заробив 75 % свого середнього заробітку. Це можна записати за правилом трьох так:

\begin{eqnarray} 100 % &\quad\ldots\quad&500 \mbox{ гривень}\\ 75 % &\quad\ldots\quad&x \mbox{ гривень} \end{eqnarray}

Оскільки це пряма пропорційність, отримуємо такий вигляд:

$$ \frac{75}{100} = \frac{x}{500} $$

Помножимо рівняння на 500 і маємо:

$$ \frac{75\cdot500}{100}=x $$

І звідси легко дійдемо результату:

\begin{eqnarray} \frac{75\cdot500}{100}&=&x\\ \frac{75\cdot5}{1}&=&x\\ x&=&75\cdot5\\ x&=&375 \end{eqnarray}

Бачимо, що вийшло те саме число.

А що, коли відома частина, а ціле невідоме?

У попередніх прикладах ми завжди виходили з того, що знаємо точне значення цілого і треба обчислити певну частину, задану у відсотках. А що, коли відомо саме частину, а ціле невідоме? Приклад: Тарас має 120 колекційних карток із великим зеленим чудовиськом. Але попри те що це поважна кількість карток зі зеленими чудовиськами, у нього все одно лише шістдесят відсотків карток порівняно з Яною. Скільки карток має Яна?

Тут відома частина, а ціле невідоме — його ще треба обчислити. Наразі знаємо, що 120 карток відповідає 60 % карток, які має Яна. Щоб дізнатися, скільки карток відповідає одному відсотку, достатньо поділити сто двадцять на шістдесят. Отримаємо двійку: 120/60 = 2. Один відсоток карток — це насправді дві картки зі зеленим чудовиськом. Оскільки ми шукаємо ціле, а воно завжди становить 100 %, помножимо цю кількість карток на сто. І маємо 200 карток, а це правильний результат.

Перевірити можна так, що обчислимо 60 % від 200: просто помножимо

$$\frac{60}{100}\cdot200=\frac{3}{5}\cdot200=3\cdot40=120$$

Бачимо, що 60 % від 200 — це 120, а саме стільки карток зі зеленим чудовиськом має Тарас.

Додавання відсотків

Коли маємо розв'язати приклад, де є відсотки, найкраще замість відсотків обчислити точні значення, а потім їх додати. Умова задачі могла б звучати приблизно так: Мирон заробляє 15 000, Станіслав 20 000, а Люба 25 000 гривень. Тепер обчисли, скільки гривень заробляє Софія, яка заробляє 30 % від того, що Мирон, плюс 40 % від того, що Станіслав, плюс 25 % від того, що Люба.

Тут маємо три вирази з відсотками, але кожен із них стосується іншого цілого. Мирон, Станіслав і Люба заробляють різні суми грошей. Тож спершу обчислимо 30 % зарплати Мирона. Це 15 000/100 = 150. Далі помножимо 150 · 30 і отримаємо 4 500. Далі черга 40 % зарплати Станіслава. Це 20 000/100 = 200. Знову множимо на 40 і маємо 200 · 40 = 8 000. Остання частина — 25 % від зарплати Люби. Вона заробляє 25 000, з них один відсоток — 25 000/100 = 250. Помноживши на 25, отримаємо 250 · 25 = 6 250. Тепер лишається додати всі часткові результати: 4 500 + 8 000 + 6 250 = 18 750. Софія заробляє 18 750 гривень, і це доволі непоганий заробіток.

Проте може трапитися, що відсотки справді доведеться додавати. Відсотки можна додавати лише тоді, коли вони мають однакову базу, те саме ціле. Тож якби, наприклад, Кирило заробив 20 % від того, що Станіслав, плюс 30 % від того, що Станіслав, ми могли б ці відсотки додати, бо йдеться про одну й ту саму базу — в обох виразах ідеться про основну зарплату Станіслава. Результат буде 20 % + 30 % = 50 %. Кирило заробить половину того, що Станіслав, тобто десять тисяч.

Підступне послідовне додавання відсотків

Тепер уяви таку ситуацію: Максим першого року заробляв 10 000. Другого року йому підвищили зарплату на 30 %. Наступного, третього, року йому знову підвищили зарплату, щоправда, цього разу лише на 10 %. Питання: яка тепер зарплата в Максима?

Цей тип прикладів дуже спокушає просто додати відсотки, як у попередньому випадку. Адже, здавалося б, ми знову рахуємо від тієї самої бази, від зарплати Максима. Тож обчислимо 30 % + 10 % і додамо до його основної зарплати. Максим тоді заробляв би 14 000 гривень. Але насправді це не так. Розберімо.

Першого року він отримував 10 000. Другого року отримував 10 000 + 30 %. Це 13 000, як легко порахувати. А наступного року йому підвищили зарплату на десять відсотків. Але стережись! База вже не ті десять тисяч, що були першого року. База вже тринадцять тисяч! А, як ми знаємо, додавати відсотки можна лише тоді, коли їх рахують від однієї бази. У нашому випадку база різна. Уперше це було 10 000, а тепер 13 000. Тож останнього року Максим отримував 13 000 + 10 %, а це 14 300.

Розв'язок 14 000 був, по-перше, хибний, а по-друге, ми б обділили бідолашного Максима на 300 гривень. Не кривдь Максима!

Купи підручник математики зі знижкою!

Класичний приклад є також зі знижкою. Уяви, що в магазині є підручник математики, який тобі дуже хочеться отримати від Святого Миколая на день народження. Зрештою, чого ж іще можна хотіти, правда? :-)

Але перед Різдвом книжка дорожчає на 20,%. Ти вирішуєш, що все-таки зачекаєш і купиш її після Різдва. І це слушне рішення, бо після свят магазин знизив ціну книжки на 20,%. Питання: чи коштує книжка стільки ж, скільки до подорожчання? Чи коштує більше або менше?

Здоровий глузд декого знову підказує, що книжка коштуватиме стільки ж, але це неправда. Порахуймо. Скажімо, книжка коштувала 300 гривень. Подорожчання на 20 % означає, що книжка стала дорожчою на $\frac{20}{100}\cdot300=60$ гривень. Книжка тоді коштувала 360 гривень.

Але знижка 20 % рахується вже не від бази 300, а від бази 360! Це означає, що книжка подешевшає на $\frac{20}{100}\cdot360=72$ гривні. Книжка після знижки коштує 288 гривень.

(Але, по правді, хто б купував підручник математики, коли є сайт «Математика просто» ;-))

Проміле

Проміле найчастіше використовують під час вимірювання алкоголю в крові водія. Дехто помилково думає, що проміле — це тисячна частина відсотка, але це помилка, зверни на це увагу. Проміле — це тисячна частина цілого. Загалом із проміле обчислюємо цілком так само, як із відсотками. Якщо хочеш дізнатися x проміле від 5000, обчислюєш так: $\frac{x}{1000}\cdot 5000$. Замість 100 у знаменнику дробу стоїть 1000. Три проміле від 5000 — це $\frac{3}{1000}\cdot5000=3\cdot5=15$.

Проміле позначають символом ‰. Отже, $x ‰ = \frac{x}{10} %$.

Докладніше в окремій статті про проміле.

Типографіка відсотків

Є різниця між записами «100 %» (з пробілом) і «100%» (без пробілу). Варіант із пробілом означає «сто відсотків», а варіант без пробілу — «стовідсотковий». Пам'ятай, будь ласка, про це, коли пишеш, і не надто хвилюйся, якщо в газетах це написано неправильно :-).

Відсотковий пункт

Крім звичайних відсотків, бувають ще відсоткові пункти. У чому різниця? Уяви, що браузером Firefox два роки тому користувалися 20,% людей, а цього року ним користуються вже 30 % людей. Яке зростання між цими двома роками? Було б помилкою казати, що зростання десятивідсоткове. Якщо спершу Firefox використовували 20 % людей, а потім 30 %, то це означає, що тепер ним користується наполовину більше людей, ніж раніше. Тобто зростання на п'ятдесят відсотків.

Але трохи дивно казати, що зростання — 50 %, коли для всіх було б зрозуміліше сказати, що кількість відсотків збільшилася на десять. Саме для цього є відсоткові пункти. У цьому випадку можна сказати, що зростання популярності браузера Firefox становить десять відсоткових пунктів. Відсоткові пункти можна використовувати, коли хочемо виразити просту різницю між двома відсотковими показниками.