Дробові раціональні вирази
Дробовий раціональний вираз (коротко дробовий вираз) — це дріб, у чисельнику й знаменнику якого стоїть якийсь многочлен. Дробовий вираз зазвичай прагнемо спростити до коротшого, гарнішого виразу.
Основи
Отже, ще раз: дробовий вираз має такий вигляд:
$$\frac{\mbox{многочлен}}{\mbox{многочлен}}$$
Прикладом дробового виразу може бути такий вираз:
$$\frac{x^2-1}{x+1}$$
Завдання — спростити цей вираз. Під час спрощення використовуємо ті самі прийоми, що й під час перетворення многочленів, тобто, наприклад, винесення спільного множника за дужки та різні корисні формули. Наступний розділ підсумовує найуживаніші перетворення.
У знаменнику дробового виразу має бути якась змінна; наприклад, про такий вираз не кажемо, що він дробовий:
$$\frac{2x+3}{2}$$
Для дробового виразу також зазвичай визначаємо умови, за яких він має зміст (ОДЗ). Знаменник не може дорівнювати нулю, бо, як відомо, на нуль ділити не можна.
Прийоми
Під час перетворення виразів використовуємо багато прийомів, спробую коротко підсумувати найпоширеніші. Насамперед це скорочення дробів. Тож якщо в чисельнику й знаменнику стоять вирази, які між собою лише множаться, можемо скорочувати:
$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$
Тут ми скоротили змінну a. Якби дріб мав такий вигляд
$$\frac{2a+10}{5a}\ne\frac{2+10}{5},$$
то скоротити не можна. Чисельник є сумою, тому скорочувати не дозволено. Часто буває, що чисельник або знаменник дробу має вигляд суми, але в такому виразі можна щось винести за дужки, і тоді вже скорочувати можна. Наприклад, у дробі
$$\frac{5a+6ab}{2a}$$
чисельник має вигляд суми, але можна винести a й після цього скоротити
$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$
Часте перетворення — також розкладання чогось за формулою. Вище ми мали дробовий вираз
$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$
Якщо застосувати до чисельника формулу
$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$
отримаємо новий дробовий вираз
$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$
і тут уже можна скоротити всю дужку (x + 1):
$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$
Далі, звісно, різні додавання й множення многочленів, перетворення степенів, додавання дробів тощо.
Перший приклад
Умова прикладу:
$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$
Бачимо, що в чисельнику й знаменнику можна винести двійку, яку потім скоротимо:
$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$
У чисельнику можна далі винести трійку:
$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$
Увесь вираз a + 2b можна скоротити, і залишиться лише трійка:
$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac31=3$$
ОДЗ цього дробового виразу:
$$a+2b\ne0$$
Другий приклад
Умова прикладу:
$$\left(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2}\right)\cdot\frac{x^2-4}{2x}$$
На першому кроці віднімемо дроби у внутрішніх дужках:
$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot\frac{x^2-4}{2x}$$
Далі перемножимо дужки в знаменнику. Уважніші учні можуть помітити, що можна застосувати формулу a2 − b2:
$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot\frac{x^2-4}{2x}$$
У знаменнику першого дробу стоїть той самий вираз, що й у чисельнику другого дробу, і, оскільки ці дроби множимо, можемо скоротити на цей вираз:
$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot\frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$
Тепер доведеться трохи попрацювати: розкрити дужки в чисельнику, звести подібні доданки й нарешті просто скоротити:
$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$
$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$
ОДЗ визначаємо за умовою. Там усього три дроби, і жоден зі знаменників не може дорівнювати нулю.
$$\begin{eqnarray} x&\ne&2\\ x&\ne&-2\\ x&\ne&0 \end{eqnarray}$$
Третій приклад
Умова наступного дробового виразу:
$$\left(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2\right)\cdot\left(\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1}\right)$$
Отже, спершу знову нудно додаємо й віднімаємо вирази в дужках. Перша різниця буде простою, бо обидва дроби мають однаковий знаменник.
$$\left(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2\right)\cdot\left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$
Розкриваємо дужки й додаємо вирази в чисельниках:
$$\left(\frac{2b}{ab}+2\right)\cdot\left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$
У першому дробі скорочуємо змінну b і зводимо двійку до знаменника a, щоб її можна було додати до першого дробу:
$$\left(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a}\right)\cdot\frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$
Додаємо дроби в першій дужці, а в другому дробі виносимо в чисельнику a.
$$\frac{2+2a}{a}\cdot\frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$
Тепер можемо скоротити a:
$$\frac{2+2a}{\fbox{a}}\cdot\frac{\fbox{a}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$
Тепер просто помножимо вираз ліворуч на дріб.
$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$
З першої дужки виносимо двійку:
$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$
Тепер можна скоротити (1 + a) (у знаменнику такий самий вираз, лише в іншому порядку: a + 1).
$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$
Це остаточно спрощений дробовий вираз, із цим виразом уже нічого розумного не зробити. ОДЗ:
$$\begin{eqnarray} ab&\ne&0\rightarrow a,b\ne0\\ a&\ne&-1\\ b&\ne&-1 \end{eqnarray}$$
Ділення многочленів
Дробові вирази можна також спрощувати за допомогою алгоритму ділення многочлена на многочлен. Це може бути зручно, коли не можна застосувати жоден класичний засіб перетворення виразів.