Задачі на спільну роботу
У задачах на спільну роботу зазвичай є двоє різних персонажів, які виконують одну й ту саму роботу за різний час. Треба з'ясувати, скільки часу вони витратять на цю роботу, якщо працюватимуть разом.
Зразкова задача
Уяви, що ти граєш у якусь гру, у якій б'єшся з драконом. Паладін мечем порубає дракона за 30 секунд, а Варвар палицею розтрощить його навіть за 20 секунд. Питання: за який час вони здолали б дракона, якби Варвар і Паладін билися з ним разом? Скільки «спільної роботи» їм доведеться виконати?
Розв'яжемо задачу так: спочатку з'ясуємо, наскільки шкодить дракону кожен безстрашний воїн за одну секунду. Оскільки Паладін убиває дракона за 30 секунд, то за одну секунду він забирає в дракона 1/30 життів, тобто одну тридцяту життів. Якби в дракона було 180 життів, то щоб Паладін убив його за тридцять секунд, він мусить щосекунди забирати 180 / 30 = 6 життів (це одна тридцята його життів). Зауваж, що 180 / 30 — це те саме, що 180 · (1/30).
Варвар убиває його за 20 секунд, тож щосекунди забирає в дракона 1/20 його життів. Такому самому дракону зі 180 життями він щосекунди забирав би 180 / 20 = 9 життів.
Отже, Паладін забирає в дракона за секунду 1/30 його життів, Варвар — 1/20. Тепер питаємо: скільки секунд потрібно, щоб ці двоє здолали його спільними силами? Можна міркувати крок за кроком — скільки життів вони забрали б у дракона за дві секунди?
$$ \frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{10}{60}=\frac16 $$
Це була б одна шоста його життів. Ми додаємо 1/30 + 1/20, бо воїни б'ються разом, і додаємо це загалом двічі, бо б'ються дві секунди. Бачимо, що це можна узагальнити: якщо вони б'ються x секунд, то в дракона вони заберуть
$$ x\cdot\frac{1}{30}+x\cdot\frac{1}{20} $$
життів. Залишилося одне — дракон гине, коли в нього забрано всі життя. Усі життя позначає число 1, бо дріб 1/30 — це одна тридцята життів дракона, тож число 1 — це всі його життя. Попередній вираз просто прирівняємо до одиниці:
$$ x\cdot\frac{1}{30}+x\cdot\frac{1}{20} = 1 $$
і шукаємо розв'язок. Помножимо обидві частини рівняння на 60, отримаємо:
$$\begin{eqnarray} x\cdot\frac{60}{30}+x\cdot\frac{60}{20} &=& 60\\ x\cdot\frac{6}{3}+x\cdot\frac{6}{2} &=& 60\\ 2x+3x &=& 60\\ 5x &=& 60\qquad/\cdot\frac15\\ x &=& 12 \end{eqnarray}$$
Виходить, що x = 12. Тобто дракона вони здолають за 12 секунд. Непогано.
Можна перевірити це підстановкою конкретних чисел. У нас був дракон зі 180 життями, і за результатом разом вони вб'ють його за 12 секунд. Паладін забирає в цього дракона 6 життів за секунду, Варвар — 9. Отже, за 12 секунд Паладін забере 12 · 6 = 72 життя, а Варвар 12 · 9 = 108 життів. Разом вони забрали 72 + 108 = 180 життів, що збігається з тим, що в дракона забрано всі життя.
Розглянь ще розв'язані приклади на спільну роботу:
Приклади
- Тимко дуже хоче купити новий телефон. Він домовився з мамою, і вона сказала, що щотижня даватиме йому кишенькові гроші, а через 60 тижнів у нього буде якраз стільки, скільки коштує омріяний телефон. Але Тимко не промах, тому пішов і до тата. Той теж пообіцяв гроші й сказав, що на новий телефон у Тимка буде навіть уже через 30 тижнів. Через який час насправді Тимко матиме новий телефон, якщо щотижня отримуватиме кишенькові гроші і від мами, і від тата?
Від мами Тимко щотижня отримує 1/60 ціни телефона, від тата — 1/30 ціни телефона. Рівняння складемо так само, як і в попередньому випадку:
$$ x\cdot\frac{1}{60}+x\cdot\frac{1}{30} = 1 $$
Вираз x · 1/60 + x · 1/30 показує, яку частину ціни телефона Тимко матиме накопиченою через x тижнів. Оскільки ми питаємо, коли в нього буде якраз стільки, скільки коштує телефон, прирівнюємо цей вираз до одиниці. Якби він хотів купити три телефони, у правій частині стояло б число три.
Розв'яжемо рівняння. Спочатку помножимо його на 60:
$$\begin{eqnarray} x\cdot\frac{60}{60}+x\cdot\frac{60}{30} &=& 60\\ x\cdot\frac{1}{1}+x\cdot\frac{2}{1} &=& 60\\ x+2x &=& 60\\ 3x &=& 60\qquad /\cdot\frac13\\ x &=& 20 \end{eqnarray}$$
Отже, новий телефон у Тимка буде через 20 тижнів. Перевіримо це підстановкою реальних значень: якби телефон коштував 9000, то від мами він щотижня отримував би 1/60 цієї ціни, тобто 150 гривень. Від тата отримував би 1/30 цієї ціни, тобто 300 гривень. Що ж, батьки в нього досить щедрі. За 20 тижнів від мами він отримав би 20 · 150 = 3000 гривень, а від тата — 20 · 300 = 6000 гривень. Разом він отримав би 3000 + 6000 = 9000 гривень.
- До басейну ведуть три труби. Одна наповнює басейн за 100 хвилин, друга за 75 хвилин, а остання за 50 хвилин. За який час наповниться басейн, якщо воду подавати з усіх трьох труб?
Ця задача знову така сама, як і попередні, тільки замість двох учасників спільної роботи в нас троє. Рівняння виглядатиме так:
$$ x\cdot\frac{1}{100}+x\cdot\frac{1}{75}+x\cdot\frac{1}{50} = 1 $$
Помножимо рівняння на 150 і продовжимо перетворення:
$$\begin{eqnarray} x\cdot\frac{150}{100}+x\cdot\frac{150}{75}+x\cdot\frac{150}{50} &=& 150\\ x\cdot\frac{3}{2}+x\cdot\frac{2}{1}+x\cdot\frac{3}{1} &=& 150\\ \frac32x+2x+3x &=& 150\\ \frac32x+5x &=& 150\qquad /\cdot 2\\ 3x + 10x &=& 300\\ 13x &=& 300\qquad/\cdot\frac{1}{13}\\ x &=& \frac{300}{13} \end{eqnarray}$$
Гарнішого результату з цього не отримаємо: басейн наповниться за 300/13 хвилини, а це приблизно 23 хвилини.
- Фірма «Косимо й січемо» викосить луку за десять годин. Фірма «Рвемо фіалки динамітом» викосить луку за шість годин. За скільки годин ці фірми викосили б дві такі луки, якби працювали разом?
Скільки скосять обидві фірми за x годин? Це вже класичний вираз:
$$ x\cdot\frac{1}{6}+x\cdot\frac{1}{10} $$
Але оскільки ми хочемо, щоб вони скосили дві луки, то в правій частині рівняння буде не 1, а 2:
$$ x\cdot\frac{1}{6}+x\cdot\frac{1}{10} = 2 $$
Далі обчислюємо так само. Помножимо все рівняння на 30 і виконуємо перетворення:
$$\begin{eqnarray} x\cdot\frac{30}{6}+x\cdot\frac{30}{10} &=& 60\\ x\cdot\frac{5}{1}+x\cdot\frac{3}{1} &=& 60\\ 5x+3x&=& 60\\ 8x&=& 60\qquad/ \cdot \frac18\\ x &=& \frac{60}{8}\\ x &=& \frac{15}{2}\\ x &=& 7{,}5 \end{eqnarray}$$
Відповідь: обидві луки вони викосили б за сім з половиною годин.
- Одна жінка народжує дитину за дев'ять місяців. За скільки місяців народять дитину дев'ять жінок?