Многочлени

Многочлен — це вираз, який містить змінну x і стандартні операції: додавання, множення та піднесення до степеня з невід'ємним цілим показником. Такі многочлени можна також додавати, віднімати, множити, ділити й підносити до степеня. Многочлени називають також поліномами.

Основні співвідношення

Прикладом простого многочлена може бути многочлен:

$$2x^2+5x-12$$

У загальному вигляді многочлен можна записати так:

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0x^0,$$

де дійсні числа перед x, тобто a_n, називаються коефіцієнтами, а n називається степенем многочлена. Число n відповідає найвищому степеню змінної в многочлені, у якому a_n≠0. Якби a_n дорівнював нулю, ми б фактично прибрали змінну x, до якої цей коефіцієнт належить, адже нуль, помножений на будь-що, дорівнює нулю:

$$0\cdot x^3=0.$$

Отже, для першого з наведених многочленів степінь многочлена дорівнює двом, бо найвищий ненульовий степінь змінної x — другий. Для іншого многочлена

$$7x^2+5x^4+15x$$

степінь многочлена дорівнює 4 (найвищий показник — 4). Зазвичай многочлени записують за спаданням показників степенів, щоб на першому місці стояв член з найвищим степенем. Тому попередній многочлен можна переписати так:

$$5x^4+7x^2+15x.$$

Бачимо, що в многочлені немає члена, у якого змінна мала б показник три та нуль. Це зовсім не заважає, просто уявімо, що коефіцієнт при цих членах нульовий. Адже можна записати

$$5x^4+0x^3+7x^2+15x^1 + 0x^0.$$

Тепер у нас є всі члени, але многочлен став зайве громіздким. Тому нульові члени зазвичай опускають.

Додавання та віднімання многочленів

Додавати й віднімати многочлени досить просто. Завжди додаємо або віднімаємо лише коефіцієнти при членах з однаковим показником степеня. Отже, виконується

$$ax^n+bx^n=(a+b)x^n.$$

Простий приклад:

$$3x^2+5x^2=(3+5)x^2=8x^2$$

Щоб додати довші многочлени, потрібно завжди добирати члени з однаковим показником степеня змінної.

$$\begin{eqnarray} (7x^3+5x^2+x) + (2x^3-3x^2+9x) =\\ =(7+2)x^3+(5-3)x^2+(1+9)x. \end{eqnarray}$$

Якщо член із даним показником степеня в многочлені відсутній, він залишається без змін (уяви, що в другому многочлені такий член є, але з нульовим коефіцієнтом).

$$(x^3+2x)+(4x^2+5x+3)=x^3+4x^2+7x+3$$

Віднімання многочленів працює так само, як додавання, тільки другий многочлен множимо на мінус одиницю, тобто міняємо всі знаки на протилежні. Ось приклад:

$$(3x^2+6x)-(2x^2+14x)=(3x^2+6x)+(-2x^2-14x)$$

Це вже звичайне додавання многочленів, тож його можна виконати як завжди:

$$(3x^2+6x)+(-2x^2-14x)=x^2-8x$$

Нагадую: якщо в многочлені є від'ємний член, то після такого перетворення він стає додатним.

$$\begin{eqnarray} &&(x^2+2x)-(3x^2-10x)=\\ &=&(x^2+2x)+(-3x^2+10x)=\\ &=&-2x^2+12x \end{eqnarray}$$

Множення многочленів

Під час множення многочленів множимо кожен член першого многочлена на кожен член другого. Коефіцієнти множимо як звичайні дійсні числа. Показники степенів змінних, навпаки, лише додаємо за правилами дій зі степенями. Ось приклад:

$$(3x^2+4x)\cdot 5x^2=(3\cdot5)x^{2+2}+(4\cdot5)x^{1+2}=15x^4+20x^3$$

У цьому прикладі один із многочленів мав лише один член, тому він не показав множення всіх членів між собою. Дещо більший приклад:

$$\begin{eqnarray} &&(x^3+2x)\cdot(4x^2+7x)=\\ &=&(1\cdot4)x^{3+2}+(1\cdot7)x^{3+1}+(2\cdot4)x^{1+2}+(2\cdot7)x^{1+1} \end{eqnarray}$$

Якщо в многочлені є знак мінус, він, звісно, враховується під час множення.

$$\begin{eqnarray} &&(x^3-2x)\cdot(4x^2-7x)=\\ &=&(1\cdot4)x^{3+2}+(1\cdot(-7))x^{3+1}+(-2\cdot4)x^{1+2}+\\ &+&(-2\cdot(-7))x^{1+1}=4x^5-7x^4-8x^3+14x^2 \end{eqnarray}$$

Перетворення многочленів

Перетворюючи многочлени, зазвичай хочемо отримати простіший многочлен. Для цього використовуємо розширення, скорочення, винесення спільного множника за дужки, застосування формул тощо. Ці формули варто знати. Ми тут використаємо деякі з них і згадаємо їх по ходу. Класична формула, якою часто користуються, —

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Якщо цікаво, звідки береться ця формула, достатньо розкрити дужки.

$$\begin{eqnarray} (a+b)^2&=&(a+b)(a+b)\\ &=&a^2+ab+ba+b^2\\ &=&a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray}$$

Почнімо з простого прикладу.

$$\begin{eqnarray} &&(a+b)^2+(a+2b)^2-3a\cdot2b=\\ &=&a^2+2ab+b^2+a^2+4ab+4b^2-6ab=\\ &=&2a^2+5b^2 \end{eqnarray}$$

Обидві ліві дужки ми розкрили за формулою, наведеною вище. Нагадую, що другу дужку ми розклали як

$$(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2.$$

Ще одна класична формула:

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b).$$

Далі другий приклад, цього разу з дробом. У чисельнику і знаменнику стоять многочлени, і ми спробуємо перетворити їх так, щоб увесь дріб можна було гарно скоротити. На першому кроці в чисельнику застосуємо першу формулу, тільки в зворотний бік. У знаменнику застосуємо другу формулу. Наприкінці просто скоротимо (a + b).

$$\begin{eqnarray} \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2}&=&\frac{(a+b)^2}{(a+b)(a-b)}\\ &=&\frac{(a+b)(a+b)}{(a+b)(a-b)}\\ &=&\frac{a+b}{a-b} \end{eqnarray}$$

У третьому прикладі спробуємо застосувати винесення спільного множника за дужки. У чисельнику спочатку винесемо 3a³, а потім розкладемо дужку (4a² − 1) за формулою a² − b², скориставшись тим, що

$$1^2=1^1\rightarrow(a^2-1^2)=(a+1)(a-1).$$

У знаменнику спочатку просто перемножимо два перші множники, також винесемо 3a³ і наприкінці все скоротимо.

$$\begin{eqnarray} \frac{12a^5-3a^3}{2a^2\cdot3a^2+3a^3}&=&\frac{3a^3(4a^2-1)}{6a^4+3a^3}\\ &=&\frac{3a^3(2a+1)(2a-1)}{3a^3(2a+1)}\\ &=&2a-1 \end{eqnarray}$$