Скільки існує різних PIN-кодів?

Уяви, що маєш цифровий замок на велосипеді, на якому можна встановити чотирицифровий код. Або хочеш задати схожий чотирицифровий код для банківської картки. Скільки існує варіантів? Порахуймо.

Кількість варіантів чотирицифрового коду

Скільки було б комбінацій, якби код складався лише з однієї цифри від нуля до дев'яти? Усього десять комбінацій: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Скільки варіантів ми отримаємо, якщо додамо ще одну цифру, тобто матимемо двоцифровий код? Уявімо це так: на першому диску встановимо цифру нуль, а на другому диску по черзі перевіримо всі цифри від нуля до дев'яти:

00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09

Отримали десять комбінацій. Тепер змінимо цифру на першому диску з нуля на одиницю й зробимо те саме:

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Маємо ще десять комбінацій. Так продовжуватимемо, доки не переберемо на першому диску всі цифри й не дійдемо до дев'ятки:

90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99

Разом ми отримали десять таких рядів, у кожному ряду по десять комбінацій. Якщо додати всі комбінації в усіх рядах, то для двоцифрового замка матимемо 10 · 10 комбінацій, тобто сто.

Так само міркуємо й далі. Додамо до замка третю цифру, і кількість комбінацій знову збільшиться вдесятеро. Отже, трицифровий код матиме 10 · 10 · 10, тобто тисячу комбінацій. Нарешті, чотирицифровий код міститиме

$$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10{,}000$$

комбінацій. Весь цей час ми лише користувалися комбінаторним правилом добутку. Тож якщо маємо чотирицифровий замок, у якому на кожному місці може стояти будь-яка з десяти цифр, то кількість комбінацій можна обчислити за допомогою степеня:

$$\Large 10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$$

Якби ми мали 3 диски й на кожному могли вибрати одну літеру англійського алфавіту, тобто літеру від A до Z, яких є 26, то отримали б

$$\Large 26^3=17{,}576$$

варіантів.

Як перебрати всі комбінації PIN-коду?

Якщо тобі колись знадобиться перебрати всі комбінації цифрового замка чи PIN-коду, головне — діяти систематично. Якщо маєш чотирицифровий замок із цифрами від 0 до 9, почни з 0000, а потім послідовно збільшуй останню цифру:

0000, 0001, 0002, …, 0009

Потім поверни другий диск справа й знову перевір усі комбінації, обертаючи останню цифру:

0010, 0011, 0012, …, 0019

Далі знову поверни другий диск справа й знову перебери всі комбінації:

0020, 0021, 0022, …, 0029

Коли дійдеш до 0099, поверни третій диск справа й продовжуй так само:

0100, 0101, 0102, …, 0199

Остання комбінація, яку можна спробувати, — 9999. Тоді можна бути певним, що перевірено всі.