Binomické rozdělení

Vezměte si test s pěti otázkami. U každé otázky jsou čtyři možnosti a právě jedna z nich je správná. Na test jste se vůbec neučili, a tak u každé otázky jen tipujete. S jakou pravděpodobností trefíte právě dvě otázky? Právě k tomuhle slouží binomické rozdělení.

S jednou otázkou by to byla hračka. Ze čtyř možností je jedna správná, takže ji trefíme s pravděpodobností $\frac{1}{4}$ a netrefíme s pravděpodobností $\frac{3}{4}$. Háček je v tom, že otázek je pět a my chceme, aby se dvě povedly a tři ne.

Jedno konkrétní pořadí

Nejdřív se zaměříme na jedno konkrétní pořadí. Řekněme, že trefíme první dvě otázky a zbylé tři pokazíme. Zapíšeme si to jako UUNNN, kde U znamená úspěch, tedy správnou odpověď, a N neúspěch, tedy špatnou.

Otázky na sobě nezávisí — to, že jsme trefili první otázku, druhé otázce nijak nepomůže ani neuškodí. Můžeme tedy vynásobit pravděpodobnosti jednotlivých otázek:

$$P(\text{UUNNN})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$$

Opakující se činitele sbalíme do mocnin:

$$P(\text{UUNNN})={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$$

Umocníme:

$$P(\text{UUNNN})=\frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{27}{1024}$$

Jenže tohle je jen jedna z možností. Dvě správné odpovědi se nám mohou objevit i v pořadí UNUNN, NNNUU a tak dále. Každé takové pořadí má stejnou pravděpodobnost $\frac{27}{1024}$, protože v něm najdeme opět dvakrát $\frac{1}{4}$ a třikrát $\frac{3}{4}$, jen v jiném pořadí, a na pořadí činitelů při násobení nezáleží.

A kolik takových pořadí vlastně existuje? Z pěti otázek vybíráme dvě, které budou správně, a nezáleží na tom, v jakém pořadí je vybereme. To jsou přesně kombinace:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10$$

Existuje tedy deset různých pořadí a každé má pravděpodobnost $\frac{27}{1024}$. Jednotlivá pořadí se navzájem vylučují, takže jejich pravděpodobnosti sečteme, neboli vynásobíme deseti:

$$P(\text{právě dvě správné})=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\doteq 0,26$$

Při tipování tedy trefíte právě dvě otázky s pravděpodobností zhruba 26 %. Lákavé je spočítat jen ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$ a na těch deset pořadí zapomenout. Výsledek by byl desetkrát menší, než má být.

Vzorec

Tentýž postup zvládne libovolný počet otázek i libovolnou pravděpodobnost. Obecně se každé otázce říká pokus a správné odpovědi úspěch. Počet úspěchů si označíme jako náhodnou veličinu X (neboli náhodnou proměnnou) a binomické rozdělení je pak rozdělení pravděpodobnosti této veličiny. Pokud hledáte jen vzorec, pravděpodobnost, že z n pokusů bude úspěšných právě k, vypočítáte jako

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k},$$

kde p je pravděpodobnost úspěchu v jednom pokusu. Mocnina p^k odpovídá k úspěchům, mocnina (1 − p)^{n − k} zbylým n − k neúspěchům a kombinační číslo $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ udává, v kolika pořadích se to může stát.

Náš test má n = 5, k = 2 a $p=\frac{1}{4}$. Dosadíme:

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{270}{1024}$$

Vyšlo to stejně jako předtím — vzorec je vlastně jen zkrácený zápis postupu z předchozího oddílu.

Pozor, vzorec se hodí jen za určitých podmínek. Musí platit čtyři věci:

• počet pokusů n je předem daný,
• pokusy jsou na sobě nezávislé,
• ve všech pokusech je stejná pravděpodobnost úspěchu p,
• každý pokus má jen dva výsledky: úspěch, nebo neúspěch.

Tipování v testu všechny čtyři podmínky splňuje. Jakmile byste ale u některých otázek odpověď znali, pravděpodobnost úspěchu by se mezi otázkami lišila a vzorec by přestal platit.

Alespoň

V praxi nás často nezajímá „právě dvě“, ale „alespoň jedna“. Jaká je pravděpodobnost, že tipováním trefíme alespoň jednu otázku? Šlo by to tak, že spočítáme P(X = 1), P(X = 2) až P(X = 5) a všechno sečteme. Rychlejší cesta vede přes doplňkový jev. Opakem „alespoň jedna správně“ je „všechno špatně“. Nic netrefit znamená netrefit pětkrát po sobě:

$$P(X=0)={\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{1024}$$

Výsledek odečteme od jedničky:

$$P(X\ge 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5=1-\frac{243}{1024}=\frac{781}{1024}$$

Alespoň jednu otázku trefíme s pravděpodobností asi 76 %. Zní to nadějně, jenže s jednou správnou odpovědí z pěti test nenapíšete.

Předpokládejme, že na úspěšné složení testu potřebujeme alespoň tři správné odpovědi. Doplněk by nám tu nepomohl, i ten by měl tři členy, proto sečteme tři případy přímo. Nejdřív tři správně:

$$P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac{9}{16}=\frac{90}{1024}$$

Čtyři správně:

$$P(X=4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot \frac{3}{4}=5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}$$

Nakonec všech pět správně:

$$P(X=5)={\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{1024}$$

Sečteme:

$$P(X\ge 3)=\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}\doteq 0,10$$

Tipováním test zvládneme s pravděpodobností zhruba 10 %. Učit se tedy má smysl.

Když stejným vzorcem spočítáme i $P(X=1)=\frac{405}{1024}$, máme všech šest možností a můžeme si je nakreslit. Nad každým sloupcem je čitatel zlomku, jmenovatel je vždy 1024. Červené sloupce za čárkovanou čarou odpovídají případům, kdy testem projdeme:

Teď si můžeme zkontrolovat, jestli jsme se nepřepočítali. Všechny čitatele musí dát dohromady 1024, protože některý počet správných odpovědí nastane určitě:

$$243+405+270+90+15+1=1024$$

Sedí. Graf také ukazuje, že nejčastěji trefíme jednu otázku. V průměru trefíme $n\cdot p=5\cdot \frac{1}{4}=1,25$ otázky, což je přesně to, co bychom čekali: čtvrtinu z pěti.