Binomijakauma

Kuvittele koe, jossa on viisi kysymystä. Jokaisessa kysymyksessä on neljä vaihtoehtoa, ja täsmälleen yksi niistä on oikea. Et ole lukenut kokeeseen ollenkaan, joten arvaat jokaisen kysymyksen. Millä todennäköisyydellä osut oikeaan täsmälleen kahdessa kysymyksessä? Juuri tätä varten on binomijakauma.

Yhden kysymyksen kanssa se olisi helppoa. Neljästä vaihtoehdosta yksi on oikea, joten osumme oikeaan todennäköisyydellä $\frac{1}{4}$ ja huti tulee todennäköisyydellä $\frac{3}{4}$. Ongelma on siinä, että kysymyksiä on viisi ja haluamme, että kaksi onnistuu ja kolme ei.

Yksi tietty järjestys

Keskitymme ensin yhteen tiettyyn järjestykseen. Sanotaan, että osumme ensimmäiseen kahteen kysymykseen ja virheitä tulee kolmeen viimeiseen. Kirjoitamme sen muodossa OOEEE, missä O tarkoittaa onnistumista eli oikeaa vastausta ja E epäonnistumista eli väärää vastausta.

Kysymykset eivät riipu toisistaan – se, että osuimme ensimmäiseen kysymykseen, ei auta eikä haittaa toista kysymystä millään tavalla. Voimme siis kertoa yksittäisten kysymysten todennäköisyydet keskenään:

$$P(\text{OOEEE})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$$

Toistuvat tekijät kokoamme potensseiksi:

$$P(\text{OOEEE})={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$$

Korotamme potenssiin:

$$P(\text{OOEEE})=\frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{27}{1024}$$

Tämä on kuitenkin vain yksi vaihtoehdoista. Kaksi oikeaa vastausta voi tulla myös järjestyksessä OEOEE, EEEOO ja niin edelleen. Jokaisella tällaisella järjestyksellä on sama todennäköisyys $\frac{27}{1024}$, koska siinä on taas kaksi kertaa $\frac{1}{4}$ ja kolme kertaa $\frac{3}{4}$, vain eri järjestyksessä, ja tekijöiden järjestyksellä kertolaskussa ei ole väliä.

Ja kuinka monta tällaista järjestystä oikeastaan on? Valitsemme viidestä kysymyksestä kaksi, jotka menevät oikein, eikä sillä, missä järjestyksessä ne valitsemme, ole väliä. Nämä ovat täsmälleen kombinaatioita:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10$$

Järjestyksiä on siis kymmenen, ja jokaisen todennäköisyys on $\frac{27}{1024}$. Yksittäiset järjestykset sulkevat toisensa pois, joten laskemme niiden todennäköisyydet yhteen eli kerromme kymmenellä:

$$P(\text{täsmälleen kaksi oikein})=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx 0,26$$

Arvaamalla osut siis täsmälleen kahteen kysymykseen noin 26 %:n todennäköisyydellä. Houkuttelevaa on laskea vain ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$ ja unohtaa ne kymmenen järjestystä. Tulos olisi kymmenen kertaa liian pieni.

Kaava

Sama menetelmä toimii mille tahansa kysymysten määrälle ja mille tahansa todennäköisyydelle. Yleisesti tällaista tilannetta kutsutaan toistokokeeksi, jokaista kysymystä toistoksi ja oikeita vastauksia onnistumisiksi. Onnistumisten määrää merkitään satunnaismuuttujalla X, ja binomijakauma on tämän muuttujan todennäköisyysjakauma. Jos etsit vain kaavaa, todennäköisyyden, että n toistosta onnistuu tasan k, lasket seuraavasti:

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k},$$

missä p on onnistumisen todennäköisyys yhdessä toistossa. Potenssi p^k vastaa k onnistumista, potenssi (1 − p)^{n − k} jäljelle jääneitä n − k epäonnistumista ja binomikerroin $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ kertoo, kuinka monessa järjestyksessä se voi tapahtua.

Kokeessamme n = 5, k = 2 ja $p=\frac{1}{4}$. Sijoitamme:

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{270}{1024}$$

Tulos on sama kuin aiemmin – kaava on oikeastaan vain edellisen osion menetelmän lyhennetty merkintä.

Huomaa, että kaava sopii vain tietyissä olosuhteissa. Neljän asian on pädettävä:

• toistojen lukumäärä n on etukäteen annettu,
• toistot ovat toisistaan riippumattomia,
• kaikissa toistoissa onnistumisen todennäköisyys p on sama,
• jokaisella toistolla on vain kaksi tulosta: onnistuminen tai epäonnistuminen.

Kokeen arvaaminen täyttää kaikki neljä ehtoa. Jos kuitenkin tietäisit jonkin kysymyksen vastauksen, onnistumisen todennäköisyys vaihtelisi kysymysten välillä eikä kaava enää pätisi.

Vähintään

Käytännössä meitä ei usein kiinnosta ”täsmälleen kaksi” vaan ”vähintään yksi”. Mikä on todennäköisyys, että arvaamalla osumme vähintään yhteen kysymykseen? Voisimme laskea P(X = 1), P(X = 2) aina lukuun P(X = 5) asti ja laskea kaiken yhteen. Nopeampi tie kulkee vastatapahtuman kautta. Tapahtuman ”vähintään yksi oikein” vastakohta on ”kaikki väärin”. Ei osua yhteenkään tarkoittaa, että huti tulee viidesti peräkkäin:

$$P(X=0)={\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{1024}$$

Vähennämme tuloksen ykkösestä:

$$P(X\ge 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5=1-\frac{243}{1024}=\frac{781}{1024}$$

Osumme vähintään yhteen kysymykseen noin 76 %:n todennäköisyydellä. Kuulostaa lupaavalta, mutta yhdellä oikealla vastauksella viidestä et kokeesta selviä.

Oletetaan, että kokeen läpäisemiseen tarvitaan vähintään kolme oikeaa vastausta. Vastatapahtumasta ei tässä olisi apua, sillä sekin sisältäisi kolme termiä, joten laskemme kolme tapausta suoraan yhteen. Ensin kolme oikein:

$$P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac{9}{16}=\frac{90}{1024}$$

Neljä oikein:

$$P(X=4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot \frac{3}{4}=5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}$$

Lopuksi kaikki viisi oikein:

$$P(X=5)={\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{1024}$$

Lasketaan yhteen:

$$P(X\ge 3)=\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}\approx 0,10$$

Arvaamalla läpäisemme kokeen noin 10 %:n todennäköisyydellä. Opiskelu kannattaa siis.

Kun samalla kaavalla lasketaan vielä $P(X=1)=\frac{405}{1024}$, meillä on kaikki kuusi vaihtoehtoa ja voimme piirtää ne. Jokaisen pylvään yläpuolella on murtoluvun osoittaja, nimittäjä on aina 1024. Punaiset pylväät katkoviivan oikealla puolella vastaavat tapauksia, joissa pääsemme kokeesta läpi:

Nyt voimme tarkistaa, ettemme ole laskeneet väärin. Kaikkien osoittajien summan on oltava 1024, koska jokin määrä oikeita vastauksia tulee varmasti:

$$243+405+270+90+15+1=1024$$

Täsmää. Kuvaaja näyttää myös, että useimmiten osumme yhteen kysymykseen. Keskimäärin osumme $n\cdot p=5\cdot \frac{1}{4}=1,25$ kysymykseen, mikä on juuri se, mitä odottaisimme: neljäsosa viidestä.