Loi binomiale

Imagine un test de cinq questions. Pour chaque question, il y a quatre réponses possibles, dont une seule est correcte. Tu n’as pas du tout révisé pour ce test, tu devines donc chaque réponse au hasard. Avec quelle probabilité auras-tu exactement deux bonnes réponses ? C’est précisément à cela que sert la loi binomiale.

Avec une seule question, ce serait un jeu d’enfant. Parmi quatre réponses, une seule est correcte : on tombe juste avec une probabilité $\frac{1}{4}$ et l’on se trompe avec une probabilité $\frac{3}{4}$. Le problème, c’est qu’il y a cinq questions et que nous voulons deux bonnes réponses et trois mauvaises.

Un ordre donné

Commençons par un ordre précis. Supposons que l’on réussisse les deux premières questions et que l’on rate les trois autres. Notons cela SSEEE, où S signifie succès, c’est-à-dire une bonne réponse, et E échec, c’est-à-dire une mauvaise réponse.

Les questions sont indépendantes les unes des autres : avoir trouvé la première réponse n’aide ni ne nuit à la deuxième. On peut donc multiplier les probabilités des différentes questions :

$$P(\text{SSEEE})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$$

Regroupons les facteurs identiques en puissances :

$$P(\text{SSEEE})={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$$

Calculons :

$$P(\text{SSEEE})=\frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{27}{1024}$$

Mais ce n’est qu’une des possibilités. Deux bonnes réponses peuvent aussi apparaître dans l’ordre SESEE, EEESS et ainsi de suite. Chacun de ces ordres a la même probabilité $\frac{27}{1024}$, car on y retrouve encore deux fois $\frac{1}{4}$ et trois fois $\frac{3}{4}$, simplement dans un autre ordre, et l’ordre des facteurs n’a pas d’importance dans une multiplication.

Combien de ces ordres existe-t-il ? On choisit deux questions parmi cinq pour qu’elles soient correctes, et l’ordre dans lequel on les choisit n’a pas d’importance. Ce sont exactement des combinaisons :

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10$$

Il existe donc dix ordres différents, chacun de probabilité $\frac{27}{1024}$. Ces ordres s’excluent mutuellement, donc on additionne leurs probabilités, ce qui revient à les multiplier par dix :

$$P(\text{exactement deux bonnes réponses})=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx 0,26$$

En devinant, tu as donc environ 26 % de chances de réussir exactement deux questions. Il est tentant de ne calculer que ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$ et d’oublier les dix ordres. Le résultat serait alors dix fois plus petit que la bonne valeur.

Formule

Cette méthode s’applique à un nombre quelconque de questions et à une probabilité quelconque. De manière générale, chaque question s’appelle un essai et une bonne réponse un succès. On note X le nombre de succès, c’est une variable aléatoire, et la loi binomiale est alors la loi de probabilité de cette variable. Si tu ne cherches que la formule : la probabilité d’obtenir exactement k succès sur n essais se calcule ainsi

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k},$$

où p est la probabilité de succès d’un essai. La puissance p^k correspond aux k succès, la puissance (1 − p)^{n − k} aux n − k échecs restants, et le coefficient binomial $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ indique dans combien d’ordres cela peut se produire.

Notre test a n = 5, k = 2 et $p=\frac{1}{4}$. On remplace :

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{270}{1024}$$

On retrouve le même résultat que précédemment : la formule n’est en fait qu’une écriture abrégée de la méthode de la section précédente.

Attention, la formule ne s’applique que sous certaines conditions. Quatre choses doivent être vérifiées :

• le nombre d’essais n est fixé à l’avance,
• les essais sont indépendants les uns des autres,
• la probabilité de succès p est la même pour tous les essais,
• chaque essai n’a que deux issues : un succès ou un échec.

Deviner les réponses à un test vérifie les quatre conditions. Mais dès que tu connaîtrais la réponse à certaines questions, la probabilité de succès varierait d’une question à l’autre et la formule ne serait plus valable.

Au moins

En pratique, on s’intéresse souvent non pas à « exactement deux », mais à « au moins une ». Quelle est la probabilité de réussir au moins une question en devinant ? On pourrait calculer P(X = 1), P(X = 2), jusqu’à P(X = 5), puis tout additionner. Un chemin plus rapide passe par l’événement contraire. Le contraire de « au moins une bonne réponse » est « aucune bonne réponse ». Ne rien trouver signifie se tromper cinq fois de suite :

$$P(X=0)={\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{1024}$$

On retranche ce résultat de 1 :

$$P(X\ge 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5=1-\frac{243}{1024}=\frac{781}{1024}$$

Tu réussiras au moins une question avec une probabilité d’environ 76 %. Cela paraît prometteur, mais avec une seule bonne réponse sur cinq, tu ne réussiras pas le test.

Supposons maintenant qu’il faille au moins trois bonnes réponses pour réussir le test. L’événement contraire ne nous aiderait pas ici : il comporterait lui aussi trois termes, donc on additionne directement les trois cas. D’abord, trois bonnes réponses :

$$P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac{9}{16}=\frac{90}{1024}$$

Quatre bonnes réponses :

$$P(X=4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot \frac{3}{4}=5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}$$

Enfin, cinq bonnes réponses :

$$P(X=5)={\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{1024}$$

On additionne :

$$P(X\ge 3)=\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}\approx 0,10$$

En devinant, tu réussiras le test avec une probabilité d’environ 10 %. Il vaut donc la peine de réviser.

Si l’on calcule aussi, avec la même formule, $P(X=1)=\frac{405}{1024}$, on dispose des six possibilités et on peut les représenter. Au-dessus de chaque colonne se trouve le numérateur de la fraction, le dénominateur valant toujours 1024. Les colonnes rouges situées à droite de la ligne pointillée correspondent aux cas où l’on réussit le test :

Vérifions maintenant que nous ne nous sommes pas trompés. Tous les numérateurs doivent totaliser 1024, car un certain nombre de bonnes réponses se produira forcément :

$$243+405+270+90+15+1=1024$$

C’est juste. Le graphique montre aussi que l’on réussit le plus souvent une question. En moyenne, on obtient $n\cdot p=5\cdot \frac{1}{4}=1,25$ bonne réponse, ce qui correspond exactement à ce qu’on attend : un quart de cinq.