Distribuția binomială

Imaginează-ți un test cu cinci întrebări. La fiecare întrebare există patru variante de răspuns și exact una dintre ele este corectă. Nu te-ai pregătit deloc pentru test, așa că la fiecare întrebare pur și simplu ghicești. Cu ce probabilitate nimerești exact două întrebări? Tocmai pentru asta există distribuția binomială.

Cu o singură întrebare ar fi floare la ureche. Din patru variante una este corectă, deci o nimerim cu probabilitatea $\frac{1}{4}$ și nu o nimerim cu probabilitatea $\frac{3}{4}$. Problema e că avem cinci întrebări, iar noi vrem ca două să iasă bine și trei nu.

O anumită ordine

Mai întâi ne concentrăm pe o anumită ordine. Să zicem că nimerim primele două întrebări, iar celelalte trei le greșim. Notăm asta cu CCGGG (corect, corect, greșit, greșit, greșit).

Întrebările nu depind una de alta – faptul că am nimerit prima întrebare nu o ajută și nu o încurcă pe a doua. Putem deci să înmulțim probabilitățile întrebărilor luate pe rând:

$$P(\text{CCGGG})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$$

Factorii care se repetă îi grupăm în puteri:

$$P(\text{CCGGG})={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$$

Ridicăm la putere:

$$P(\text{CCGGG})=\frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{27}{1024}$$

Doar că aceasta este numai una dintre posibilități. Cele două răspunsuri corecte pot apărea și în ordinea CGCGG, GGGCC și așa mai departe. Fiecare astfel de ordine are aceeași probabilitate $\frac{27}{1024}$, deoarece găsim în ea din nou de două ori $\frac{1}{4}$ și de trei ori $\frac{3}{4}$, doar în altă ordine, iar la înmulțire ordinea factorilor nu contează.

Și câte astfel de ordini există de fapt? Din cele cinci întrebări alegem două care vor fi corecte și nu contează în ce ordine le alegem. Acestea sunt exact combinările:

$$C_5^2=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10$$

Există deci zece ordini diferite și fiecare are probabilitatea $\frac{27}{1024}$. Ordinile se exclud reciproc, așa că le adunăm probabilitățile, adică înmulțim cu zece:

$$P(\text{exact două corecte})=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx 0,26$$

Ghicind, nimerești deci exact două întrebări cu probabilitatea de aproximativ 26%. E tentant să calculezi doar ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$ și să uiți de cele zece ordini. Rezultatul ar fi de zece ori mai mic decât trebuie.

Formula

Același procedeu funcționează pentru orice număr de întrebări și orice probabilitate. În general, fiecare întrebare se numește încercare, iar răspunsurile corecte se numesc succese. Numărul de succese îl notăm cu variabila aleatoare X, iar distribuția binomială este atunci distribuția de probabilitate a acestei variabile. Dacă ai nevoie doar de formulă, probabilitatea ca din n încercări exact k să fie reușite se calculează astfel:

$$P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k},$$

unde p este probabilitatea de succes la o singură încercare. Puterea p^k corespunde celor k succese, puterea (1 − p)^{n − k} celor n − k eșecuri rămase, iar numărul de combinări $C_n^k$ arată în câte ordini se poate întâmpla acest lucru.

Testul nostru are n = 5, k = 2 și $p=\frac{1}{4}$. Înlocuim:

$$P(X=2)=C_5^2\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{270}{1024}$$

A ieșit la fel ca înainte – formula este de fapt doar o scriere prescurtată a raționamentului din secțiunea precedentă.

Atenție, formula se potrivește doar în anumite condiții. Trebuie să fie îndeplinite patru lucruri:

• numărul de încercări n este stabilit dinainte,
• încercările sunt independente una de alta,
• în toate încercările probabilitatea de succes p este aceeași,
• fiecare încercare are doar două rezultate: succes sau eșec.

Ghicitul la test îndeplinește toate cele patru condiții. Dar dacă la unele întrebări ai ști răspunsul, probabilitatea de succes ar diferi de la o întrebare la alta și formula nu ar mai fi valabilă.

Cel puțin

În practică adesea nu ne interesează „exact două”, ci „cel puțin una”. Care este probabilitatea ca, ghicind, să nimerim cel puțin o întrebare? Am putea calcula P(X = 1), P(X = 2) până la P(X = 5) și să adunăm tot. Un drum mai scurt trece prin evenimentul contrar. Contrarul lui „cel puțin una corectă” este „toate greșite”. Să nu nimerim nimic înseamnă să greșim de cinci ori la rând:

$$P(X=0)={\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{1024}$$

Rezultatul îl scădem din unu:

$$P(X\ge 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5=1-\frac{243}{1024}=\frac{781}{1024}$$

Nimerim cel puțin o întrebare cu probabilitatea de aproximativ 76%. Sună promițător, dar cu un singur răspuns corect din cinci nu iei testul.

Să presupunem că pentru a lua testul avem nevoie de cel puțin trei răspunsuri corecte. Evenimentul contrar nu ne-ar ajuta aici, căci și el ar avea trei termeni, de aceea adunăm direct cele trei cazuri. Mai întâi trei corecte:

$$P(X=3)=C_5^3\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac{9}{16}=\frac{90}{1024}$$

Patru corecte:

$$P(X=4)=C_5^4\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot \frac{3}{4}=5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}$$

În sfârșit, toate cele cinci corecte:

$$P(X=5)={\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{1024}$$

Adunăm:

$$P(X\ge 3)=\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}\approx 0,10$$

Ghicind, luăm testul cu probabilitatea de aproximativ 10%. Așadar are rost să înveți.

Dacă folosim aceeași formulă și pentru $P(X=1)=\frac{405}{1024}$, avem toate cele șase posibilități și le putem desena. Deasupra fiecărei coloane stă numărătorul fracției, numitorul este mereu 1024. Coloanele roșii de după linia întreruptă corespund cazurilor în care luăm testul:

Acum putem verifica dacă nu am greșit la calcule. Toți numărătorii trebuie să dea împreună 1024, deoarece cu siguranță vom avea un anumit număr de răspunsuri corecte:

$$243+405+270+90+15+1=1024$$

Se potrivește. Graficul mai arată că cel mai des nimerim o singură întrebare. În medie nimerim $n\cdot p=5\cdot \frac{1}{4}=1,25$ întrebări, ceea ce este exact ce ne-am aștepta: un sfert din cinci.