Binomialverteilung

Stell dir einen Test mit fünf Fragen vor. Bei jeder Frage gibt es vier Antwortmöglichkeiten, und genau eine davon ist richtig. Du hast überhaupt nicht für den Test gelernt und rätst deshalb bei jeder Frage nur. Mit welcher Wahrscheinlichkeit triffst du genau zwei Fragen? Genau dafür ist die Binomialverteilung da.

Mit einer einzigen Frage wäre es ein Kinderspiel. Von den vier Möglichkeiten ist eine richtig, also treffen wir sie mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{4}$ und verfehlen sie mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{4}$. Der Haken ist, dass es fünf Fragen gibt und wir wollen, dass zwei gelingen und drei nicht.

Eine bestimmte Reihenfolge

Zuerst konzentrieren wir uns auf eine bestimmte Reihenfolge. Sagen wir, wir treffen die ersten beiden Fragen und vermasseln die übrigen drei. Wir schreiben das als RRFFF (richtig, richtig, falsch, falsch, falsch).

Die Fragen sind voneinander unabhängig – dass wir die erste Frage getroffen haben, ist für die zweite weder hilfreich noch schädlich. Wir können also die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Fragen multiplizieren:

$$P(\text{RRFFF})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$$

Die sich wiederholenden Faktoren fassen wir zu Potenzen zusammen:

$$P(\text{RRFFF})={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$$

Wir potenzieren:

$$P(\text{RRFFF})=\frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{27}{1024}$$

Das ist aber nur eine der Möglichkeiten. Zwei richtige Antworten können auch in der Reihenfolge RFRFF, FFFRR und so weiter auftreten. Jede solche Reihenfolge hat dieselbe Wahrscheinlichkeit $\frac{27}{1024}$, denn auch in ihr finden wir wieder zweimal $\frac{1}{4}$ und dreimal $\frac{3}{4}$, nur in anderer Reihenfolge, und auf die Reihenfolge der Faktoren kommt es beim Multiplizieren nicht an.

Und wie viele solche Reihenfolgen gibt es eigentlich? Aus den fünf Fragen wählen wir zwei aus, die richtig sein sollen, und es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge wir sie auswählen. Das sind genau die Kombinationen:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10$$

Es gibt also zehn verschiedene Reihenfolgen, und jede hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{27}{1024}$. Die einzelnen Reihenfolgen schließen sich gegenseitig aus, deshalb addieren wir ihre Wahrscheinlichkeiten, das heißt, wir multiplizieren mit zehn:

$$P(\text{genau zwei richtig})=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx 0,26$$

Beim Raten treffen wir also genau zwei Fragen mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 26 %. Es ist verlockend, nur ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$ auszurechnen und die zehn Reihenfolgen zu vergessen. Das Ergebnis wäre zehnmal kleiner, als es sein soll.

Die Formel

Dasselbe Vorgehen funktioniert für eine beliebige Anzahl von Fragen und für eine beliebige Wahrscheinlichkeit. Allgemein nennt man jede Frage einen Versuch und die richtigen Antworten Erfolge. Die Anzahl der Erfolge bezeichnen wir als Zufallsgröße X, und die Binomialverteilung ist dann die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Größe. Wenn du nur die Formel suchst: Die Wahrscheinlichkeit, dass von n Versuchen genau k erfolgreich sind, berechnest du als

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k},$$

wobei p die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs in einem Versuch ist. Die Potenz p^k entspricht den k Erfolgen, die Potenz (1 − p)^{n − k} den übrigen n − k Misserfolgen, und der Binomialkoeffizient $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ gibt an, in wie vielen Reihenfolgen das passieren kann.

Unser Test hat n = 5, k = 2 und $p=\frac{1}{4}$. Wir setzen ein:

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{270}{1024}$$

Es kam dasselbe heraus wie vorhin – die Formel ist eigentlich nur eine verkürzte Schreibweise des Vorgehens aus dem vorigen Abschnitt.

Achtung, die Formel gilt nur unter bestimmten Voraussetzungen. Vier Dinge müssen gelten:

• die Anzahl der Versuche n steht im Voraus fest,
• die Versuche sind voneinander unabhängig,
• in allen Versuchen ist die Erfolgswahrscheinlichkeit p gleich,
• jeder Versuch hat nur zwei Ausgänge: Erfolg oder Misserfolg.

Das Raten im Test erfüllt alle vier Voraussetzungen. Wüsstest du aber bei einigen Fragen die Antwort, wäre die Erfolgswahrscheinlichkeit von Frage zu Frage verschieden, und die Formel würde nicht mehr gelten.

Mindestens

In der Praxis interessiert uns oft nicht „genau zwei“, sondern „mindestens eins“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir beim Raten mindestens eine Frage treffen? Man könnte P(X = 1), P(X = 2) bis P(X = 5) ausrechnen und alles addieren. Schneller geht es über das Gegenereignis. Das Gegenteil von „mindestens eine richtig“ ist „alle falsch“. Nichts zu treffen bedeutet, fünfmal hintereinander danebenzuliegen:

$$P(X=0)={\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{1024}$$

Das Ergebnis ziehen wir von eins ab:

$$P(X\ge 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5=1-\frac{243}{1024}=\frac{781}{1024}$$

Mindestens eine Frage treffen wir mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 76 %. Das klingt vielversprechend, doch mit einer richtigen Antwort von fünf bestehst du den Test nicht.

Nehmen wir an, wir brauchen zum Bestehen des Tests mindestens drei richtige Antworten. Das Gegenereignis würde uns hier nicht helfen, auch dieses hätte drei Summanden, deshalb addieren wir die drei Fälle direkt. Zuerst drei richtig:

$$P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac{9}{16}=\frac{90}{1024}$$

Vier richtig:

$$P(X=4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot \frac{3}{4}=5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}$$

Zuletzt alle fünf richtig:

$$P(X=5)={\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{1024}$$

Wir addieren:

$$P(X\ge 3)=\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}\approx 0,10$$

Durch Raten bestehen wir den Test mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 10 %. Lernen lohnt sich also.

Wenn wir mit derselben Formel auch $P(X=1)=\frac{405}{1024}$ ausrechnen, haben wir alle sechs Möglichkeiten und können sie zeichnen. Über jeder Säule steht der Zähler des Bruchs, der Nenner ist immer 1024. Die roten Säulen rechts der gestrichelten Linie entsprechen den Fällen, in denen wir den Test bestehen:

Jetzt können wir prüfen, ob wir uns nicht verrechnet haben. Alle Zähler müssen zusammen 1024 ergeben, denn irgendeine Anzahl richtiger Antworten tritt mit Sicherheit ein:

$$243+405+270+90+15+1=1024$$

Stimmt. Das Diagramm zeigt auch, dass wir am häufigsten eine Frage treffen. Im Durchschnitt treffen wir $n\cdot p=5\cdot \frac{1}{4}=1,25$ Fragen, genau das, was wir erwarten würden: ein Viertel von fünf.