Distribución binomial

Imagina un test de cinco preguntas. Cada pregunta tiene cuatro opciones y exactamente una de ellas es correcta. No has estudiado nada para el test, así que respondes al azar en todas las preguntas. ¿Con qué probabilidad aciertas exactamente dos? Para eso sirve la distribución binomial.

Con una sola pregunta sería pan comido. De cuatro opciones una es correcta, así que la acertamos con probabilidad $\frac{1}{4}$ y la fallamos con probabilidad $\frac{3}{4}$. La dificultad está en que las preguntas son cinco y queremos que dos salgan bien y tres mal.

Un orden concreto

Primero nos fijamos en un orden concreto. Supongamos que acertamos las dos primeras preguntas y fallamos las otras tres. Lo anotamos como AAFFF (acierto, acierto, fallo, fallo, fallo).

Las preguntas son independientes: haber acertado la primera no ayuda ni perjudica a la segunda. Por tanto, podemos multiplicar las probabilidades de cada pregunta:

$$P(\text{AAFFF})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$$

Agrupamos los factores repetidos en potencias:

$$P(\text{AAFFF})={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$$

Calculamos las potencias:

$$P(\text{AAFFF})=\frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{27}{1024}$$

Sin embargo, este es solo uno de los casos posibles. Las dos respuestas correctas también pueden aparecer en el orden AFAFF, FFFAA y así sucesivamente. Cada uno de esos órdenes tiene la misma probabilidad $\frac{27}{1024}$, porque en él volvemos a encontrar dos veces $\frac{1}{4}$ y tres veces $\frac{3}{4}$, solo que en otro orden, y al multiplicar el orden de los factores no importa.

¿Y cuántos órdenes de este tipo existen? De las cinco preguntas elegimos las dos que saldrán bien, y no importa en qué orden las elijamos. Eso son exactamente las combinaciones:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10$$

Existen, pues, diez órdenes distintos y cada uno tiene probabilidad $\frac{27}{1024}$. Los órdenes se excluyen entre sí, así que sumamos sus probabilidades, es decir, multiplicamos por diez:

$$P(\text{exactamente dos aciertos})=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx 0,26$$

Al responder al azar, acertamos exactamente dos preguntas con una probabilidad de aproximadamente un 26 %. Es tentador calcular solo ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$ y olvidarse de los diez órdenes. El resultado saldría diez veces menor de lo que debe ser.

Fórmula

El mismo procedimiento sirve para cualquier número de preguntas y cualquier probabilidad. En general, a cada pregunta se le llama prueba y a las respuestas correctas, éxitos. Denotamos el número de éxitos como la variable aleatoria X, y la distribución binomial es entonces la distribución de probabilidad de esta variable. Si solo buscas la fórmula, la probabilidad de que de n pruebas resulten exitosas exactamente k se calcula como

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k},$$

donde p es la probabilidad de éxito en una prueba. La potencia p^k corresponde a los k éxitos, la potencia (1 − p)^{n − k} a los n − k fracasos restantes y el número combinatorio $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ indica en cuántos órdenes puede ocurrir.

Nuestro test tiene n = 5, k = 2 y $p=\frac{1}{4}$. Sustituimos:

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{270}{1024}$$

Sale lo mismo que antes: la fórmula es, en realidad, solo una forma abreviada del procedimiento de la sección anterior.

Ojo, la fórmula solo sirve en ciertas condiciones. Tienen que cumplirse cuatro cosas:

• el número de pruebas n está fijado de antemano,
• las pruebas son independientes entre sí,
• en todas las pruebas la probabilidad de éxito p es la misma,
• cada prueba tiene solo dos resultados: éxito o fracaso.

Responder al azar en un test cumple las cuatro condiciones. Pero en cuanto supieras la respuesta de alguna pregunta, la probabilidad de éxito sería distinta de una pregunta a otra y la fórmula dejaría de valer.

Al menos

En la práctica a menudo no nos interesa «exactamente dos», sino «al menos una». ¿Cuál es la probabilidad de que, respondiendo al azar, acertemos al menos una pregunta? Se podría hacer calculando P(X = 1), P(X = 2) hasta P(X = 5) y sumándolo todo. El camino más rápido pasa por el suceso contrario. El contrario de «al menos una correcta» es «todas mal». No acertar ninguna significa fallar cinco veces seguidas:

$$P(X=0)={\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{1024}$$

Restamos el resultado de uno:

$$P(X\ge 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5=1-\frac{243}{1024}=\frac{781}{1024}$$

Acertamos al menos una pregunta con una probabilidad de alrededor de un 76 %. Suena esperanzador, pero con una sola respuesta correcta de cinco no apruebas el test.

Supongamos que para aprobar el test necesitamos al menos tres respuestas correctas. Aquí el suceso contrario no nos ayudaría, también tendría tres términos, así que sumamos directamente los tres casos. Primero, tres aciertos:

$$P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac{9}{16}=\frac{90}{1024}$$

Cuatro aciertos:

$$P(X=4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot \frac{3}{4}=5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}$$

Por último, los cinco aciertos:

$$P(X=5)={\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{1024}$$

Sumamos:

$$P(X\ge 3)=\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}\approx 0,10$$

Respondiendo al azar aprobamos el test con una probabilidad de aproximadamente un 10 %. Así que merece la pena estudiar.

Si con la misma fórmula calculamos también $P(X=1)=\frac{405}{1024}$, tenemos las seis posibilidades y podemos dibujarlas. Encima de cada columna aparece el numerador de la fracción; el denominador es siempre 1024. Las columnas rojas a la derecha de la línea discontinua corresponden a los casos en que aprobamos el test:

Ahora podemos comprobar que no nos hemos equivocado en las cuentas. Todos los numeradores tienen que sumar 1024, porque algún número de respuestas correctas ocurrirá con seguridad:

$$243+405+270+90+15+1=1024$$

Cuadra. El gráfico también muestra que lo más frecuente es acertar una pregunta. De media acertamos $n\cdot p=5\cdot \frac{1}{4}=1,25$ preguntas, que es justo lo que cabría esperar: una cuarta parte de cinco.