Distribuzione binomiale

Immagina un test con cinque domande. Per ogni domanda ci sono quattro opzioni e una sola è quella giusta. Per il test non hai studiato per niente, quindi per ogni domanda rispondi a caso. Con quale probabilità indovini esattamente due domande? È proprio a questo che serve la distribuzione binomiale.

Con una sola domanda sarebbe un gioco da ragazzi. Su quattro opzioni una è giusta, quindi la indoviniamo con probabilità $\frac{1}{4}$ e la sbagliamo con probabilità $\frac{3}{4}$. Il problema è che le domande sono cinque e noi vogliamo che due riescano e tre no.

Un ordine particolare

Per prima cosa concentriamoci su un ordine particolare. Diciamo che indoviniamo le prime due domande e sbagliamo le altre tre. Lo scriviamo come SSIII, dove S significa successo, cioè una risposta giusta, e I insuccesso, cioè una risposta sbagliata.

Le domande non dipendono l’una dall’altra — aver indovinato la prima domanda non aiuta né danneggia in alcun modo la seconda. Possiamo quindi moltiplicare le probabilità delle singole domande:

$$P(\text{SSIII})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$$

I fattori che si ripetono si raccolgono in potenze:

$$P(\text{SSIII})={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$$

Eseguiamo le potenze:

$$P(\text{SSIII})=\frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{27}{1024}$$

Questa però è solo una delle possibilità. Due risposte giuste possono comparire anche nell’ordine SISII, IIISS e così via. Ognuno di questi ordini ha la stessa probabilità $\frac{27}{1024}$, perché vi ritroviamo di nuovo due volte $\frac{1}{4}$ e tre volte $\frac{3}{4}$, solo in un ordine diverso, e nella moltiplicazione l’ordine dei fattori non conta.

E quanti sono in realtà questi ordini? Su cinque domande ne scegliamo due che saranno giuste, e non importa in quale ordine le scegliamo. Sono proprio le combinazioni:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10$$

Esistono quindi dieci ordini diversi e ognuno ha probabilità $\frac{27}{1024}$. I singoli ordini si escludono a vicenda, quindi sommiamo le loro probabilità, ovvero moltiplichiamo per dieci:

$$P(\text{esattamente due giuste})=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx 0,26$$

Rispondendo a caso indoviniamo quindi esattamente due domande con probabilità di circa il 26%. La tentazione è calcolare solo ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$ e dimenticare i dieci ordini. Il risultato sarebbe dieci volte più piccolo di quello giusto.

Formula

Lo stesso procedimento funziona per un numero qualsiasi di domande e per qualsiasi probabilità. In generale ogni domanda si chiama prova e le risposte giuste successi. Il numero di successi lo indichiamo con la variabile casuale X (o variabile aleatoria) e la distribuzione binomiale è la distribuzione di probabilità di questa variabile. Se cerchi solo la formula, la probabilità che su n prove i successi siano esattamente k si calcola come

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k},$$

dove p è la probabilità di successo in una singola prova. La potenza p^k corrisponde ai k successi, la potenza (1 − p)^{n − k} ai restanti n − k insuccessi e il coefficiente binomiale $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ indica in quanti ordini ciò può accadere.

Il nostro test ha n = 5, k = 2 e $p=\frac{1}{4}$. Sostituiamo:

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{270}{1024}$$

È venuto lo stesso risultato di prima — la formula è in fondo solo una scrittura abbreviata del procedimento della sezione precedente.

Attenzione, la formula va bene solo a certe condizioni. Devono valere quattro cose:

• il numero di prove n è fissato in anticipo,
• le prove sono indipendenti tra loro,
• in tutte le prove la probabilità di successo p è la stessa,
• ogni prova ha solo due esiti: successo o insuccesso.

Rispondere a caso nel test soddisfa tutte e quattro le condizioni. Ma se per alcune domande conoscessi la risposta, la probabilità di successo sarebbe diversa da una domanda all’altra e la formula non varrebbe più.

Almeno

Nella pratica spesso non ci interessa «esattamente due», ma «almeno una». Qual è la probabilità di indovinare almeno una domanda rispondendo a caso? Si potrebbe calcolare P(X = 1), P(X = 2) fino a P(X = 5) e sommare tutto. Una strada più rapida passa per l’evento complementare. Il contrario di «almeno una giusta» è «tutte sbagliate». Non indovinare nulla significa sbagliare cinque volte di seguito:

$$P(X=0)={\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{1024}$$

Sottraiamo il risultato da uno:

$$P(X\ge 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5=1-\frac{243}{1024}=\frac{781}{1024}$$

Indoviniamo almeno una domanda con probabilità di circa il 76%. Sembra promettente, ma con una sola risposta giusta su cinque il test non lo superi.

Supponiamo che per superare il test servano almeno tre risposte giuste. Qui il complementare non ci aiuterebbe, avrebbe anch’esso tre termini, quindi sommiamo direttamente tre casi. Prima tre giuste:

$$P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac{9}{16}=\frac{90}{1024}$$

Quattro giuste:

$$P(X=4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot \frac{3}{4}=5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}$$

Infine tutte e cinque giuste:

$$P(X=5)={\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{1024}$$

Sommiamo:

$$P(X\ge 3)=\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}\approx 0,10$$

Rispondendo a caso superiamo il test con probabilità di circa il 10%. Studiare ha quindi senso.

Se con la stessa formula calcoliamo anche $P(X=1)=\frac{405}{1024}$, abbiamo tutte e sei le possibilità e possiamo rappresentarle. Sopra ogni colonna c’è il numeratore della frazione, il denominatore è sempre 1024. Le colonne rosse oltre la linea tratteggiata corrispondono ai casi in cui superiamo il test:

Ora possiamo controllare di non aver sbagliato i conti. Tutti i numeratori devono dare insieme 1024, perché un certo numero di risposte giuste si verifica di sicuro:

$$243+405+270+90+15+1=1024$$

Torna. Il grafico mostra anche che il caso più frequente è indovinare una domanda. In media indoviniamo $n\cdot p=5\cdot \frac{1}{4}=1,25$ domande, che è proprio ciò che ci aspetteremmo: un quarto di cinque.