Binomialfördelning

Tänk dig ett prov med fem frågor. Vid varje fråga finns fyra svarsalternativ och exakt ett av dem är rätt. Du har inte pluggat alls, så du gissar på varje fråga. Hur stor är sannolikheten att du får exakt två frågor rätt? Det är precis det binomialfördelningen används till.

Med en enda fråga vore det enkelt. Av fyra alternativ är ett rätt, så vi gissar rätt med sannolikheten $\frac{1}{4}$ och fel med sannolikheten $\frac{3}{4}$. Haken är att det finns fem frågor och att vi vill ha två rätt och tre fel.

En bestämd ordning

Först koncentrerar vi oss på en bestämd ordning. Säg att vi svarar rätt på de två första frågorna och fel på de tre sista. Vi skriver det som RRFFF, där R betyder rätt svar och F fel svar.

Frågorna är oberoende av varandra — att vi svarade rätt på den första frågan varken hjälper eller stjälper oss på den andra. Vi kan alltså multiplicera sannolikheterna för de enskilda frågorna:

$$P(\text{RRFFF})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$$

Upprepade faktorer samlar vi till potenser:

$$P(\text{RRFFF})={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$$

Vi räknar ut potenserna:

$$P(\text{RRFFF})=\frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{27}{1024}$$

Men det här är bara en av möjligheterna. Två rätta svar kan också komma i ordningen RFRFF, FFFRR och så vidare. Varje sådan ordning har samma sannolikhet $\frac{27}{1024}$, eftersom vi i den åter hittar två gånger $\frac{1}{4}$ och tre gånger $\frac{3}{4}$, bara i en annan ordning, och ordningen mellan faktorerna spelar ingen roll vid multiplikation.

Och hur många sådana ordningar finns det egentligen? Av fem frågor väljer vi ut två som ska bli rätt, och det spelar ingen roll i vilken ordning vi väljer dem. Det är precis kombinationer:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10$$

Det finns alltså tio olika ordningar och var och en har sannolikheten $\frac{27}{1024}$. De olika ordningarna utesluter varandra, så vi adderar deras sannolikheter, vilket är detsamma som att multiplicera med tio:

$$P(\text{exakt två rätt})=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx 0,26$$

När du gissar får du alltså exakt två frågor rätt med sannolikheten ungefär 26 %. Det är frestande att bara räkna ut ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$ och glömma bort de tio ordningarna. Resultatet skulle då bli tio gånger för litet.

Formeln

Samma metod fungerar för vilket antal frågor som helst och för vilken sannolikhet som helst. Allmänt kallar vi varje fråga ett försök och varje rätt svar en framgång. Antalet framgångar betecknar vi med slumpvariabeln X (eller stokastiska variabeln), och binomialfördelningen är då sannolikhetsfördelningen för den variabeln. Om du bara letar efter formeln beräknar du sannolikheten att exakt k av n försök lyckas som

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k},$$

där p är sannolikheten för framgång i ett enskilt försök. Potensen p^k motsvarar de k framgångarna, potensen (1 − p)^{n − k} de övriga n − k misslyckandena, och binomialkoefficienten $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ anger i hur många olika ordningar det kan hända.

Vårt prov har n = 5, k = 2 och $p=\frac{1}{4}$. Vi sätter in:

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{270}{1024}$$

Vi fick samma resultat som förut — formeln är i själva verket bara en förkortad skrivning av metoden i föregående avsnitt.

Observera att formeln bara passar under vissa villkor. Fyra saker måste gälla:

• antalet försök n är bestämt på förhand,
• försöken är oberoende av varandra,
• sannolikheten för framgång p är densamma i alla försök,
• varje försök har bara två utfall: framgång eller misslyckande.

Att gissa på ett prov uppfyller alla fyra villkoren. Men så fort du skulle kunna svaret på några av frågorna skulle sannolikheten för framgång skilja sig mellan frågorna och formeln skulle sluta gälla.

Minst

I praktiken är vi ofta inte intresserade av ”exakt två” utan av ”minst en”. Hur stor är sannolikheten att vi får minst en fråga rätt när vi gissar? Vi skulle kunna beräkna P(X = 1), P(X = 2) till P(X = 5) och addera allt. Ett snabbare sätt går via komplementhändelsen. Motsatsen till ”minst en rätt” är ”alla fel”. Att inte få någon rätt betyder att vi gissar fel fem gånger i rad:

$$P(X=0)={\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{1024}$$

Resultatet subtraherar vi från ett:

$$P(X\ge 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5=1-\frac{243}{1024}=\frac{781}{1024}$$

Minst en fråga får vi rätt med sannolikheten ungefär 76 %. Det låter hoppfullt, men med ett rätt svar av fem klarar du inte provet.

Anta att vi behöver minst tre rätta svar för att klara provet. Komplementet hjälper oss inte här, det skulle också ha tre termer, så vi adderar de tre fallen direkt. Först tre rätt:

$$P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac{9}{16}=\frac{90}{1024}$$

Fyra rätt:

$$P(X=4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot \frac{3}{4}=5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}$$

Till sist alla fem rätt:

$$P(X=5)={\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{1024}$$

Vi adderar:

$$P(X\ge 3)=\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}\approx 0,10$$

Genom att gissa klarar vi provet med sannolikheten ungefär 10 %. Det lönar sig alltså att plugga.

När vi med samma formel också räknar ut $P(X=1)=\frac{405}{1024}$ har vi alla sex möjligheterna och kan rita dem. Över varje stapel står täljaren i bråket, och nämnaren är alltid 1024. De röda staplarna till höger om den streckade linjen motsvarar de fall där vi klarar provet:

Nu kan vi kontrollera att vi inte har räknat fel. Alla täljare måste tillsammans bli 1024, eftersom vi med säkerhet får något antal rätta svar:

$$243+405+270+90+15+1=1024$$

Det stämmer. Diagrammet visar också att vi oftast får en fråga rätt. I genomsnitt får vi $n\cdot p=5\cdot \frac{1}{4}=1,25$ frågor rätt, vilket är precis vad vi väntar oss: en fjärdedel av fem.