Binomiale verdeling

Neem een toets met vijf meerkeuzevragen. Bij elke vraag zijn vier antwoorden mogelijk en precies één daarvan is goed. Je hebt helemaal niet geleerd voor de toets en gokt dus bij elke vraag. Hoe groot is de kans dat je precies twee vragen goed hebt? Daarvoor dient de binomiale verdeling.

Met één vraag zou het een kleinigheid zijn. Van de vier antwoorden is er één goed, dus we raden het goed met kans $\frac{1}{4}$ en fout met kans $\frac{3}{4}$. Het addertje onder het gras is dat er vijf vragen zijn en dat we willen dat er twee goed gaan en drie fout.

Eén bepaalde volgorde

Eerst richten we ons op één bepaalde volgorde. Stel dat we de eerste twee vragen goed hebben en de overige drie fout. Dat noteren we als GGFFF, waarbij G staat voor goed (een succes) en F voor fout (een mislukking).

De vragen zijn onafhankelijk van elkaar: dat we de eerste vraag goed hebben, helpt of schaadt de tweede vraag op geen enkele manier. We kunnen dus de kansen van de afzonderlijke vragen met elkaar vermenigvuldigen:

$$P(\text{GGFFF})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$$

De herhaalde factoren vatten we samen tot machten:

$$P(\text{GGFFF})={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$$

We berekenen de machten:

$$P(\text{GGFFF})=\frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{27}{1024}$$

Maar dit is maar één van de mogelijkheden. Twee goede antwoorden kunnen ook in de volgorde GFGFF, FFFGG enzovoort voorkomen. Elke zo'n volgorde heeft dezelfde kans $\frac{27}{1024}$, want ook daarin vinden we twee keer $\frac{1}{4}$ en drie keer $\frac{3}{4}$, alleen in een andere volgorde, en op de volgorde van de factoren bij vermenigvuldigen komt het niet aan.

En hoeveel van zulke volgordes zijn er eigenlijk? Uit vijf vragen kiezen we er twee die goed zijn, en het maakt niet uit in welke volgorde we ze kiezen. Dat zijn precies combinaties:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10$$

Er zijn dus tien verschillende volgordes en elke heeft kans $\frac{27}{1024}$. De afzonderlijke volgordes sluiten elkaar uit, dus we tellen hun kansen op, oftewel we vermenigvuldigen met tien:

$$P(\text{precies twee goed})=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx 0,26$$

Bij gokken heb je dus met een kans van ongeveer 26% precies twee vragen goed. Het is verleidelijk om alleen ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$ uit te rekenen en die tien volgordes te vergeten. Het resultaat zou dan tien keer te klein zijn.

De formule

Dezelfde aanpak werkt voor elk aantal vragen en elke kans. In het algemeen noemen we elke vraag een poging en de goede antwoorden successen. Het aantal successen noteren we als stochast X (ook wel toevalsvariabele genoemd), en de binomiale verdeling is dan de kansverdeling van deze stochast. Als je alleen de formule zoekt: de kans dat er van n pogingen precies k lukken, bereken je als

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k},$$

waarbij p de kans op succes bij één poging is. De macht p^k komt overeen met k successen, de macht (1 − p)^{n − k} met de overige n − k mislukkingen en de binomiaalcoëfficiënt $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ geeft aan in hoeveel volgordes dit kan gebeuren.

Onze toets heeft n = 5, k = 2 en $p=\frac{1}{4}$. We vullen in:

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{270}{1024}$$

Er komt hetzelfde uit als zonet — de formule is eigenlijk gewoon een verkorte schrijfwijze van de werkwijze uit de vorige paragraaf. Op je grafische rekenmachine vind je dit onder binompdf.

Let op, de formule is alleen bruikbaar onder bepaalde voorwaarden. Vier dingen moeten kloppen:

• het aantal pogingen n ligt vooraf vast,
• de pogingen zijn onafhankelijk van elkaar,
• bij alle pogingen is de kans op succes p gelijk,
• elke poging heeft maar twee uitkomsten: succes of mislukking.

Gokken bij een toets voldoet aan alle vier de voorwaarden. Zodra je bij sommige vragen het antwoord zou weten, zou de kans op succes per vraag verschillen en zou de formule niet meer gelden.

Minstens

In de praktijk interesseert ons vaak niet “precies twee”, maar “minstens één”. Hoe groot is de kans dat we door te gokken minstens één vraag goed hebben? Dat zou kunnen door P(X = 1), P(X = 2) tot en met P(X = 5) te berekenen en alles op te tellen. Een snellere weg loopt via de complementaire gebeurtenis. Het tegenovergestelde van “minstens één goed” is “alles fout”. Niets goed hebben betekent vijf keer na elkaar missen:

$$P(X=0)={\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{1024}$$

Het resultaat trekken we van één af:

$$P(X\ge 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5=1-\frac{243}{1024}=\frac{781}{1024}$$

Minstens één vraag hebben we goed met een kans van ongeveer 76%. Dat klinkt hoopgevend, maar met één goed antwoord uit vijf haal je de toets niet.

Stel dat we minstens drie goede antwoorden nodig hebben om de toets te halen. Het complement zou ons hier niet helpen, ook dat zou drie termen hebben, dus we tellen de drie gevallen rechtstreeks op. Eerst drie goed:

$$P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac{9}{16}=\frac{90}{1024}$$

Vier goed:

$$P(X=4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot \frac{3}{4}=5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}$$

Tot slot alle vijf goed:

$$P(X=5)={\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{1024}$$

We tellen op:

$$P(X\ge 3)=\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}\approx 0,10$$

Door te gokken halen we de toets dus met een kans van ongeveer 10%. Leren loont dus.

Als we met dezelfde formule ook $P(X=1)=\frac{405}{1024}$ uitrekenen, hebben we alle zes mogelijkheden en kunnen we ze tekenen. Boven elke staaf staat de teller van de breuk, de noemer is steeds 1024. De rode staven rechts van de stippellijn horen bij de gevallen waarin we de toets halen:

Nu kunnen we controleren of we ons niet hebben vergist. Alle tellers moeten samen 1024 zijn, want een bepaald aantal goede antwoorden komt zeker voor:

$$243+405+270+90+15+1=1024$$

Klopt. De grafiek laat ook zien dat we het vaakst één vraag goed hebben. Gemiddeld hebben we $n\cdot p=5\cdot \frac{1}{4}=1,25$ vragen goed, en dat is precies wat we zouden verwachten: een kwart van vijf.