Binomialfordeling

Forestil dig en test med fem spørgsmål. Ved hvert spørgsmål er der fire svarmuligheder, og præcis én af dem er rigtig. Du har slet ikke læst til testen, så du gætter bare på hvert spørgsmål. Hvad er sandsynligheden for, at du rammer præcis to spørgsmål? Det er netop det, binomialfordelingen bruges til.

Med ét spørgsmål ville det være en leg. Ud af fire muligheder er én rigtig, så vi rammer den med sandsynligheden $\frac{1}{4}$ og rammer ikke med sandsynligheden $\frac{3}{4}$. Hagen er, at der er fem spørgsmål, og vi vil have, at to lykkes og tre ikke gør.

Én bestemt rækkefølge

Først koncentrerer vi os om én bestemt rækkefølge. Lad os sige, at vi rammer de to første spørgsmål og forkludrer de tre sidste. Det skriver vi som SSFFF, hvor S står for succes, altså et rigtigt svar, og F for fiasko, altså et forkert.

Spørgsmålene afhænger ikke af hinanden — at vi ramte det første spørgsmål, hjælper ikke det andet spørgsmål og skader det heller ikke. Vi kan altså gange sandsynlighederne for de enkelte spørgsmål:

$$P(\text{SSFFF})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$$

Gentagne faktorer samler vi i potenser:

$$P(\text{SSFFF})={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$$

Vi beregner potenserne:

$$P(\text{SSFFF})=\frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{27}{1024}$$

Men det er kun én af mulighederne. To rigtige svar kan vi også få i rækkefølgen SFSFF, FFFSS og så videre. Hver sådan rækkefølge har den samme sandsynlighed $\frac{27}{1024}$, for vi finder i den igen to gange $\frac{1}{4}$ og tre gange $\frac{3}{4}$, bare i en anden rækkefølge, og ved multiplikation er faktorernes rækkefølge ligegyldig.

Og hvor mange sådanne rækkefølger findes der egentlig? Af fem spørgsmål vælger vi to, som skal være rigtige, og det er ligegyldigt, i hvilken rækkefølge vi vælger dem. Det er netop kombinationer:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10$$

Der findes altså ti forskellige rækkefølger, og hver har sandsynligheden $\frac{27}{1024}$. De enkelte rækkefølger udelukker hinanden, så vi lægger deres sandsynligheder sammen, eller med andre ord ganger med ti:

$$P(\text{præcis to rigtige})=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx 0,26$$

Ved at gætte rammer du altså præcis to spørgsmål med en sandsynlighed på cirka 26 %. Det er fristende kun at beregne ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$ og glemme de ti rækkefølger. Resultatet ville være ti gange mindre, end det skal være.

Formel

Den samme fremgangsmåde klarer et vilkårligt antal spørgsmål og en vilkårlig sandsynlighed. Generelt kalder vi hvert spørgsmål et forsøg og de rigtige svar succes. Antallet af succeser betegner vi som en stokastisk variabel X, og binomialfordelingen er så sandsynlighedsfordelingen af denne variabel. Hvis du bare leder efter formlen, beregner du sandsynligheden for, at præcis r ud af n forsøg bliver en succes, som

$$P(X=r)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})\cdot p^r\cdot (1-p{)}^{n-r},$$

hvor p er sandsynligheden for succes i ét forsøg. Potensen p^r svarer til r succeser, potensen (1 − p)^{n − r} til de resterende n − r fiaskoer, og binomialkoefficienten $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})$ angiver, i hvor mange rækkefølger det kan ske.

Vores test har n = 5, r = 2 og $p=\frac{1}{4}$. Vi sætter ind:

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{270}{1024}$$

Det blev det samme som før — formlen er egentlig bare en forkortet skrivemåde for fremgangsmåden fra det foregående afsnit.

Pas på, formlen kan kun bruges under visse betingelser. Fire ting skal være opfyldt:

• antallet af forsøg n er givet på forhånd,
• forsøgene er uafhængige af hinanden,
• i alle forsøg er sandsynligheden for succes p den samme,
• hvert forsøg har kun to udfald: succes eller fiasko.

Gætning i en test opfylder alle fire betingelser. Men så snart du kendte svaret ved nogle af spørgsmålene, ville sandsynligheden for succes være forskellig fra spørgsmål til spørgsmål, og formlen ville ikke længere gælde.

Mindst

I praksis interesserer vi os ofte ikke for »præcis to«, men for »mindst én«. Hvad er sandsynligheden for, at vi ved at gætte rammer mindst ét spørgsmål? Det kunne gøres ved at beregne P(X = 1), P(X = 2) op til P(X = 5) og lægge det hele sammen. En hurtigere vej går via komplementærhændelsen. Det modsatte af »mindst ét rigtigt« er »alt forkert«. At ramme ingenting betyder at svare forkert fem gange i træk:

$$P(X=0)={\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{1024}$$

Resultatet trækker vi fra et:

$$P(X\ge 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5=1-\frac{243}{1024}=\frac{781}{1024}$$

Mindst ét spørgsmål rammer vi med en sandsynlighed på cirka 76 %. Det lyder lovende, men med ét rigtigt svar ud af fem består du ikke testen.

Lad os antage, at vi for at bestå testen har brug for mindst tre rigtige svar. Komplementærhændelsen ville ikke hjælpe os her, også den ville have tre led, derfor lægger vi de tre tilfælde direkte sammen. Først tre rigtige:

$$P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac{9}{16}=\frac{90}{1024}$$

Fire rigtige:

$$P(X=4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot \frac{3}{4}=5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}$$

Til sidst alle fem rigtige:

$$P(X=5)={\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{1024}$$

Vi lægger sammen:

$$P(X\ge 3)=\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}\approx 0,10$$

Ved at gætte består vi testen med en sandsynlighed på cirka 10 %. Det giver altså mening at læse til den.

Når vi med den samme formel også beregner $P(X=1)=\frac{405}{1024}$, har vi alle seks muligheder og kan tegne dem. Over hver søjle står tælleren i brøken, nævneren er altid 1024. De røde søjler efter den stiplede linje svarer til de tilfælde, hvor vi består testen:

Nu kan vi kontrollere, om vi har regnet forkert. Alle tællerne skal give 1024 tilsammen, for et eller andet antal rigtige svar indtræffer helt sikkert:

$$243+405+270+90+15+1=1024$$

Det passer. Grafen viser også, at vi oftest rammer ét spørgsmål. I gennemsnit rammer vi $n\cdot p=5\cdot \frac{1}{4}=1,25$ spørgsmål, hvilket er præcis det, vi ville forvente: en fjerdedel af fem.