Binomisk fordeling

Tenk deg en prøve med fem spørsmål. Til hvert spørsmål er det fire svaralternativer, og nøyaktig ett av dem er riktig. Du har ikke lest til prøven i det hele tatt, så du gjetter bare på hvert spørsmål. Hva er sannsynligheten for at du treffer nøyaktig to spørsmål? Akkurat dette bruker vi binomisk fordeling til.

Med ett spørsmål ville det vært enkelt. Av fire alternativer er ett riktig, så vi treffer med sannsynlighet $\frac{1}{4}$ og bommer med sannsynlighet $\frac{3}{4}$. Haken er at det er fem spørsmål, og vi vil at to skal lykkes og tre ikke.

Én bestemt rekkefølge

Først konsentrerer vi oss om én bestemt rekkefølge. La oss si at vi treffer de to første spørsmålene og bommer på de tre siste. Vi skriver det som SSFFF, der S betyr suksess, altså riktig svar, og F betyr fiasko, altså feil svar.

Spørsmålene er uavhengige av hverandre — at vi traff det første spørsmålet, hjelper eller skader ikke det andre. Vi kan altså multiplisere sannsynlighetene for de enkelte spørsmålene:

$$P(\text{SSFFF})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$$

Faktorene som gjentas, samler vi i potenser:

$$P(\text{SSFFF})={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$$

Vi opphøyer:

$$P(\text{SSFFF})=\frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{27}{1024}$$

Men dette er bare én av mulighetene. To riktige svar kan vi også få i rekkefølgen SFSFF, FFFSS og så videre. Hver slik rekkefølge har den samme sannsynligheten $\frac{27}{1024}$, for også her finner vi to ganger $\frac{1}{4}$ og tre ganger $\frac{3}{4}$, bare i en annen rekkefølge, og rekkefølgen på faktorene har ikke noe å si når vi multipliserer.

Og hvor mange slike rekkefølger finnes det egentlig? Av fem spørsmål velger vi to som skal være riktige, og det har ikke noe å si i hvilken rekkefølge vi velger dem. Det er nettopp kombinasjoner:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10$$

Det finnes altså ti ulike rekkefølger, og hver har sannsynligheten $\frac{27}{1024}$. De enkelte rekkefølgene utelukker hverandre, så vi legger sammen sannsynlighetene deres, eller med andre ord multipliserer med ti:

$$P(\text{nøyaktig to riktige})=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx 0,26$$

Når du gjetter, treffer du altså nøyaktig to spørsmål med en sannsynlighet på omtrent 26 %. Det er fristende å bare regne ut ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$ og glemme de ti rekkefølgene. Resultatet ville da blitt ti ganger mindre enn det skal være.

Formel

Den samme framgangsmåten klarer et hvilket som helst antall spørsmål og en hvilken som helst sannsynlighet. Generelt kaller vi hvert spørsmål et forsøk og de riktige svarene suksess. Antallet suksesser betegner vi som den stokastiske variabelen X, og den binomiske fordelingen er da sannsynlighetsfordelingen til denne variabelen. Hvis du bare leter etter formelen, regner du ut sannsynligheten for at nøyaktig k av n forsøk lykkes, som

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k},$$

der p er sannsynligheten for suksess i ett forsøk. Potensen p^k svarer til k suksesser, potensen (1 − p)^{n − k} til de resterende n − k fiaskoene, og binomialkoeffisienten $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ angir i hvor mange rekkefølger dette kan skje.

Prøven vår har n = 5, k = 2 og $p=\frac{1}{4}$. Vi setter inn:

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{270}{1024}$$

Det ble det samme som før — formelen er egentlig bare en forkortet skrivemåte for framgangsmåten i forrige avsnitt.

Pass på, formelen passer bare under visse betingelser. Fire ting må gjelde:

• antall forsøk n er gitt på forhånd,
• forsøkene er uavhengige av hverandre,
• sannsynligheten for suksess p er den samme i alle forsøk,
• hvert forsøk har bare to utfall: suksess eller fiasko.

Gjetting på en prøve oppfyller alle fire betingelsene. Men så snart du kunne svaret på noen av spørsmålene, ville sannsynligheten for suksess variere mellom spørsmålene, og formelen ville ikke lenger gjelde.

Minst

I praksis interesserer vi oss ofte ikke for «nøyaktig to», men for «minst én». Hva er sannsynligheten for at vi treffer minst ett spørsmål når vi gjetter? Det kunne gjøres ved at vi regner ut P(X = 1), P(X = 2) og så videre til P(X = 5) og legger sammen alt. Den raskere veien går via den komplementære hendelsen. Det motsatte av «minst én riktig» er «alt feil». Å ikke treffe noe betyr å bomme fem ganger på rad:

$$P(X=0)={\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{1024}$$

Resultatet trekker vi fra én:

$$P(X\ge 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5=1-\frac{243}{1024}=\frac{781}{1024}$$

Vi treffer minst ett spørsmål med en sannsynlighet på omtrent 76 %. Det høres lovende ut, men med ett riktig svar av fem består du ikke prøven.

La oss anta at vi trenger minst tre riktige svar for å bestå prøven. Komplementet ville ikke hjelpe oss her, også det ville ha tre ledd, så vi legger sammen de tre tilfellene direkte. Først tre riktige:

$$P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac{9}{16}=\frac{90}{1024}$$

Fire riktige:

$$P(X=4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot \frac{3}{4}=5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}$$

Til slutt alle fem riktige:

$$P(X=5)={\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{1024}$$

Vi legger sammen:

$$P(X\ge 3)=\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}\approx 0,10$$

Ved gjetting består vi prøven med en sannsynlighet på omtrent 10 %. Det er altså vits i å lese til prøven.

Når vi med den samme formelen også regner ut $P(X=1)=\frac{405}{1024}$, har vi alle seks mulighetene og kan tegne dem. Over hver søyle står telleren i brøken, nevneren er alltid 1024. De røde søylene til høyre for den stiplede linjen svarer til tilfellene der vi består prøven:

Nå kan vi kontrollere om vi har regnet feil. Alle tellerne må til sammen gi 1024, for et eller annet antall riktige svar inntreffer helt sikkert:

$$243+405+270+90+15+1=1024$$

Det stemmer. Grafen viser også at vi oftest treffer ett spørsmål. I gjennomsnitt treffer vi $n\cdot p=5\cdot \frac{1}{4}=1,25$ spørsmål, som er nøyaktig det vi ville vente: en fjerdedel av fem.