Rozkład dwumianowy

Wyobraź sobie test z pięcioma pytaniami. Przy każdym pytaniu są cztery odpowiedzi i dokładnie jedna z nich jest poprawna. Do testu w ogóle się nie uczyłeś, więc przy każdym pytaniu po prostu zgadujesz. Z jakim prawdopodobieństwem trafisz dokładnie dwa pytania? Właśnie do tego służy rozkład dwumianowy.

Przy jednym pytaniu byłaby to bułka z masłem. Z czterech odpowiedzi jedna jest poprawna, więc trafimy ją z prawdopodobieństwem $\frac{1}{4}$, a nie trafimy z prawdopodobieństwem $\frac{3}{4}$. Haczyk polega na tym, że pytań jest pięć, a my chcemy, żeby dwa się udały, a trzy nie.

Jedna konkretna kolejność

Najpierw skupimy się na jednej konkretnej kolejności. Powiedzmy, że trafiamy pierwsze dwa pytania, a na pozostałe trzy odpowiadamy źle. Zapiszemy to jako PPZZZ (poprawnie, poprawnie, źle, źle, źle).

Pytania nie zależą od siebie — to, że trafiliśmy pierwsze pytanie, drugiemu ani nie pomaga, ani nie szkodzi. Możemy więc pomnożyć prawdopodobieństwa poszczególnych pytań:

$$P(\text{PPZZZ})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$$

Powtarzające się czynniki zapisujemy jako potęgi:

$$P(\text{PPZZZ})={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$$

Podnosimy do potęgi:

$$P(\text{PPZZZ})=\frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{27}{1024}$$

Tyle że to tylko jedna z możliwości. Dwie poprawne odpowiedzi mogą pojawić się też w kolejności PZPZZ, ZZZPP i tak dalej. Każda taka kolejność ma to samo prawdopodobieństwo $\frac{27}{1024}$, bo znowu znajdziemy w niej dwa razy $\frac{1}{4}$ i trzy razy $\frac{3}{4}$, tylko w innej kolejności, a kolejność czynników przy mnożeniu nie ma znaczenia.

A ile takich kolejności właściwie istnieje? Z pięciu pytań wybieramy dwa, które będą poprawne, i nie ma znaczenia, w jakiej kolejności je wybierzemy. To dokładnie kombinacje:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10$$

Istnieje więc dziesięć różnych kolejności i każda ma prawdopodobieństwo $\frac{27}{1024}$. Poszczególne kolejności wzajemnie się wykluczają, więc ich prawdopodobieństwa dodajemy, czyli mnożymy przez dziesięć:

$$P(\text{dokładnie dwie poprawne})=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx 0,26$$

Zgadując, trafisz więc dokładnie dwa pytania z prawdopodobieństwem około 26%. Kusi, żeby policzyć tylko ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$ i zapomnieć o tych dziesięciu kolejnościach. Wynik byłby dziesięć razy mniejszy, niż powinien.

Wzór

Ten sam sposób poradzi sobie z dowolną liczbą pytań i dowolnym prawdopodobieństwem. Ogólnie każde pytanie nazywamy próbą, a poprawne odpowiedzi sukcesem. Liczbę sukcesów oznaczymy jako zmienną losową X, a rozkład dwumianowy jest wtedy rozkładem prawdopodobieństwa tej zmiennej. Jeśli szukasz tylko wzoru, prawdopodobieństwo, że z n prób dokładnie k będzie udanych, obliczysz jako

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k},$$

gdzie p jest prawdopodobieństwem sukcesu w jednej próbie. Potęga p^k odpowiada k sukcesom, potęga (1 − p)^{n − k} pozostałym n − k porażkom, a symbol Newtona $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ mówi, na ile sposobów (w ilu kolejnościach) może się to zdarzyć.

Nasz test ma n = 5, k = 2 i $p=\frac{1}{4}$. Podstawiamy:

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{270}{1024}$$

Wyszło tak samo jak wcześniej — wzór to po prostu skrócony zapis rozumowania z poprzedniej części.

Uwaga, wzór nadaje się tylko w pewnych warunkach. Muszą być spełnione cztery rzeczy:

• liczba prób n jest z góry ustalona,
• próby są od siebie niezależne,
• we wszystkich próbach prawdopodobieństwo sukcesu p jest takie samo,
• każda próba ma tylko dwa wyniki: sukces albo porażkę.

Zgadywanie w teście spełnia wszystkie cztery warunki. Gdyby jednak przy niektórych pytaniach odpowiedź była Ci znana, prawdopodobieństwo sukcesu różniłoby się między pytaniami i wzór przestałby obowiązywać.

Co najmniej

W praktyce często nie interesuje nas „dokładnie dwa”, ale „co najmniej jeden”. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zgadując, trafimy co najmniej jedno pytanie? Dałoby się to zrobić tak, że obliczymy P(X = 1), P(X = 2) aż do P(X = 5) i wszystko dodamy. Szybsza droga prowadzi przez zdarzenie przeciwne. Przeciwieństwem „co najmniej jedno poprawnie” jest „wszystko źle”. Nie trafić niczego oznacza nie trafić pięć razy z rzędu:

$$P(X=0)={\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{1024}$$

Wynik odejmujemy od jedności:

$$P(X\ge 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5=1-\frac{243}{1024}=\frac{781}{1024}$$

Co najmniej jedno pytanie trafimy z prawdopodobieństwem około 76%. Brzmi to obiecująco, ale z jedną poprawną odpowiedzią na pięć testu nie zaliczysz.

Załóżmy, że do zaliczenia testu potrzebujemy co najmniej trzech poprawnych odpowiedzi. Zdarzenie przeciwne by nam tu nie pomogło, bo i ono miałoby trzy składniki, dlatego dodamy trzy przypadki bezpośrednio. Najpierw trzy poprawne:

$$P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac{9}{16}=\frac{90}{1024}$$

Cztery poprawne:

$$P(X=4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot \frac{3}{4}=5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}$$

Na koniec wszystkie pięć poprawnych:

$$P(X=5)={\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{1024}$$

Dodajemy:

$$P(X\ge 3)=\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}\approx 0,10$$

Zgadując, zaliczymy test z prawdopodobieństwem około 10%. Uczyć się więc warto.

Gdy tym samym wzorem obliczymy jeszcze $P(X=1)=\frac{405}{1024}$, mamy wszystkie sześć możliwości i możemy je narysować. Nad każdym słupkiem stoi licznik ułamka, mianownik wynosi zawsze 1024. Czerwone słupki za linią przerywaną odpowiadają przypadkom, w których zaliczamy test:

Teraz możemy sprawdzić, czy się nie pomyliliśmy w rachunkach. Wszystkie liczniki muszą dać razem 1024, bo jakaś liczba poprawnych odpowiedzi na pewno wystąpi:

$$243+405+270+90+15+1=1024$$

Zgadza się. Wykres pokazuje też, że najczęściej trafimy jedno pytanie. Średnio trafiamy $n\cdot p=5\cdot \frac{1}{4}=1,25$ pytania, czyli dokładnie tyle, ile moglibyśmy się spodziewać: jedną czwartą z pięciu.