Binomiális eloszlás

Képzelj el egy tesztet öt kérdéssel. Minden kérdésnél négy válaszlehetőség van, és pontosan egy közülük a helyes. Egyáltalán nem tanultál a tesztre, ezért minden kérdésnél csak tippelsz. Mekkora a valószínűsége, hogy pontosan két kérdést találsz el? Pontosan erre való a binomiális eloszlás.

Egyetlen kérdéssel ez gyerekjáték lenne. A négy lehetőségből egy a helyes, tehát $\frac{1}{4}$ valószínűséggel találjuk el, és $\frac{3}{4}$ valószínűséggel nem. A bökkenő az, hogy öt kérdés van, és mi azt szeretnénk, hogy kettő sikerüljön, három pedig ne.

Egy konkrét sorrend

Először egy konkrét sorrendre figyelünk. Tegyük fel, hogy az első két kérdést eltaláljuk, a maradék hármat pedig elrontjuk. Ezt így jelöljük: JJRRR (jó, jó, rossz, rossz, rossz).

A kérdések nem függnek egymástól – attól, hogy az elsőt eltaláltuk, a másodikon sem segít, sem nem árt. Összeszorozhatjuk tehát az egyes kérdések valószínűségeit:

$$P(\text{JJRRR})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$$

Az ismétlődő tényezőket hatványokba vonjuk össze:

$$P(\text{JJRRR})={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$$

Hatványozzunk:

$$P(\text{JJRRR})=\frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{27}{1024}$$

Ez azonban csak egy a lehetőségek közül. A két helyes válasz megjelenhet a JRJRR, RRRJJ és így tovább sorrendben is. Mindegyik ilyen sorrend valószínűsége ugyanannyi, $\frac{27}{1024}$, mert mindegyikben ismét kétszer szerepel $\frac{1}{4}$ és háromszor $\frac{3}{4}$, csak más sorrendben, a tényezők sorrendje pedig a szorzásnál nem számít.

És hány ilyen sorrend létezik? Az öt kérdésből kiválasztjuk azt a kettőt, amelyik helyes lesz, és nem számít, milyen sorrendben választjuk ki őket. Ezek pontosan a kombinációk:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10$$

Tíz különböző sorrend van tehát, és mindegyik valószínűsége $\frac{27}{1024}$. Az egyes sorrendek kizárják egymást, ezért a valószínűségeiket összeadjuk, vagyis megszorozzuk tízzel:

$$P(\text{pontosan két helyes})=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx 0,26$$

Tippeléssel tehát nagyjából 26% valószínűséggel találsz el pontosan két kérdést. Csábító, hogy csak a ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$ értéket számoljuk ki, és megfeledkezzünk a tíz sorrendről. Az eredmény így tízszer kisebb lenne, mint kell.

A képlet

Ugyanez az eljárás működik tetszőleges számú kérdésre és tetszőleges valószínűségre is. Általánosan minden kérdést próbálkozásnak, a helyes válaszokat sikernek nevezzük. A sikerek számát jelöljük X valószínűségi változóval, a binomiális eloszlás pedig ennek a változónak a valószínűség-eloszlása. Ha csak a képletet keresed, annak a valószínűségét, hogy n próbálkozásból pontosan k lesz sikeres, így számíthatod ki:

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k},$$

ahol p a siker valószínűsége egyetlen próbálkozásban. A p^k hatvány a k sikernek felel meg, az (1 − p)^{n − k} hatvány a maradék n − k kudarcnak, a binomiális együttható $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ pedig megmondja, hányféle sorrendben történhet meg mindez.

A mi tesztünkben n = 5, k = 2 és $p=\frac{1}{4}$. Helyettesítsünk be:

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{270}{1024}$$

Ugyanaz jött ki, mint az előbb – a képlet tulajdonképpen az előző szakasz eljárásának rövidített leírása.

Vigyázat, a képlet csak bizonyos feltételek mellett használható. Négy dolognak kell teljesülnie:

• a próbálkozások n száma előre adott,
• a próbálkozások egymástól függetlenek,
• minden próbálkozásban ugyanaz a siker p valószínűsége,
• minden próbálkozásnak csak két kimenetele van: siker vagy kudarc.

A teszt tippelése mind a négy feltételt teljesíti. Ha azonban néhány kérdésre tudnád a választ, a siker valószínűsége kérdésenként eltérne, és a képlet már nem lenne érvényes.

Legalább

A gyakorlatban gyakran nem a „pontosan kettő” érdekel minket, hanem a „legalább egy”. Mekkora a valószínűsége, hogy tippeléssel legalább egy kérdést eltalálunk? Megoldhatnánk úgy, hogy kiszámítjuk P(X = 1), P(X = 2) egészen P(X = 5) értékét, és mindet összeadjuk. Gyorsabb út vezet a komplementer eseményen át. A „legalább egy helyes” ellentéte a „mind rossz”. Semmit sem eltalálni annyit tesz, mint ötször egymás után nem eltalálni:

$$P(X=0)={\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{1024}$$

Az eredményt kivonjuk 1-ből:

$$P(X\ge 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5=1-\frac{243}{1024}=\frac{781}{1024}$$

Legalább egy kérdést nagyjából 76% valószínűséggel találunk el. Ez biztatóan hangzik, de egyetlen helyes válasszal az ötből a tesztet nem írod meg.

Tegyük fel, hogy a teszt sikeres teljesítéséhez legalább három helyes válasz kell. A komplementer itt nem segítene, az is három tagból állna, ezért a három esetet közvetlenül összeadjuk. Először három helyes:

$$P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac{9}{16}=\frac{90}{1024}$$

Négy helyes:

$$P(X=4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot \frac{3}{4}=5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}$$

Végül mind az öt helyes:

$$P(X=5)={\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{1024}$$

Összeadjuk:

$$P(X\ge 3)=\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}\approx 0,10$$

Tippeléssel nagyjából 10% valószínűséggel megyünk át a teszten. Érdemes tehát tanulni.

Ha ugyanezzel a képlettel kiszámítjuk $P(X=1)=\frac{405}{1024}$ értékét is, megvan mind a hat lehetőség, és le is rajzolhatjuk őket. Minden oszlop fölött a tört számlálója áll, a nevező mindig 1024. A szaggatott vonal utáni piros oszlopok azokat az eseteket jelölik, amikor átmegyünk a teszten:

Most ellenőrizhetjük, nem számoltunk-e el valamit. Az összes számlálónak együtt 1024-et kell kiadnia, hiszen valamilyen számú helyes válasz biztosan bekövetkezik:

$$243+405+270+90+15+1=1024$$

Stimmel. A grafikonról az is leolvasható, hogy leggyakrabban egy kérdést találunk el. Átlagosan $n\cdot p=5\cdot \frac{1}{4}=1,25$ kérdést találunk el, ami pontosan az, amire számítanánk: az öt negyedét.