Binom Dağılımı

Beş soruluk bir sınav düşün. Her sorunun dört şıkkı var ve bunlardan tam olarak biri doğru. Sınava hiç çalışmadın, bu yüzden her soruda rastgele bir şık işaretliyorsun. Tam olarak iki soruyu doğru yapma olasılığın nedir? Binom dağılımı tam da bunun için var.

Tek bir soru olsaydı iş çocuk oyuncağı olurdu. Dört şıktan biri doğru olduğu için soruyu $\frac{1}{4}$ olasılıkla doğru, $\frac{3}{4}$ olasılıkla yanlış yaparız. Asıl mesele soruların beş tane olması ve bizim ikisinin doğru, üçünün yanlış çıkmasını istememiz.

Belirli Bir Sıra

Önce belirli bir sıraya bakalım. İlk iki soruyu doğru, kalan üçünü yanlış yaptığımızı varsayalım. Bunu DDYYY diye yazarız (doğru, doğru, yanlış, yanlış, yanlış).

Sorular birbirinden bağımsızdır — ilk soruyu doğru yapmış olmamız ikinci soruya ne yardım eder ne de zarar verir. O hâlde her sorunun olasılığını çarpabiliriz:

$$P(\text{DDYYY})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$$

Tekrar eden çarpanları kuvvet olarak yazalım:

$$P(\text{DDYYY})={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$$

Kuvvetleri hesaplayalım:

$$P(\text{DDYYY})=\frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{27}{1024}$$

Ama bu yalnızca bir olasılık. İki doğru cevap DYDYY, YYYDD gibi sıralarda da gelebilir. Böyle her sıranın olasılığı aynıdır: $\frac{27}{1024}$. Çünkü her birinde yine iki tane $\frac{1}{4}$ ve üç tane $\frac{3}{4}$ var, yalnızca sıraları farklı; çarpmada çarpanların sırası ise önemli değildir.

Peki böyle kaç sıra var? Beş sorudan doğru olacak ikisini seçiyoruz ve bunları hangi sırayla seçtiğimiz önemli değil. Bu tam olarak kombinasyon demektir:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10$$

Demek ki on farklı sıra var ve her birinin olasılığı $\frac{27}{1024}$. Sıralar birbirini dışladığı için olasılıklarını toplarız, yani ona çarparız:

$$P(\text{tam olarak iki doğru})=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx 0,26$$

Rastgele işaretleyerek tam olarak iki soruyu yaklaşık %26 olasılıkla doğru yaparız. Yalnızca ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$ değerini hesaplayıp on sırayı unutmak cazip gelebilir. Bu durumda sonuç olması gerekenden on kat küçük çıkar.

Formül

Aynı yöntem herhangi bir soru sayısı ve herhangi bir olasılık için işe yarar. Genel olarak her soruya deneme, doğru cevaplara başarı denir. Başarı sayısını X rastgele değişkeni olarak gösterelim; binom dağılımı da bu değişkenin olasılık dağılımına verilen addır. Yalnızca formülü arıyorsan, n denemeden tam olarak k tanesinin başarılı olma olasılığı şöyle hesaplanır:

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k},$$

burada p, tek bir denemede başarı olasılığıdır. p^k kuvveti k başarıya, (1 − p)^{n − k} kuvveti kalan n − k başarısızlığa karşılık gelir; $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ binom katsayısı ise bunun kaç farklı sırada gerçekleşebileceğini verir.

Sınavımızda n = 5, k = 2 ve $p=\frac{1}{4}$. Yerine koyalım:

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{270}{1024}$$

Daha önceki sonucun aynısı çıktı — formül aslında önceki bölümdeki işlemin kısa yazılışından ibaret.

Dikkat, formül yalnızca belirli koşullar altında kullanılabilir. Dört şeyin birlikte sağlanması gerekir:

• deneme sayısı n önceden belirlenmiş olmalı,
• denemeler birbirinden bağımsız olmalı,
• bütün denemelerde başarı olasılığı p aynı olmalı,
• her denemenin yalnızca iki sonucu olmalı: başarı ya da başarısızlık.

Sınavda rastgele işaretleme dört koşulun hepsini sağlar. Ama bazı soruların cevabını bilseydin, başarı olasılığı sorudan soruya değişirdi ve formül geçerliliğini yitirirdi.

En Az

Uygulamada çoğu zaman “tam olarak iki” değil, “en az bir” ile ilgileniriz. Rastgele işaretleyerek en az bir soruyu doğru yapma olasılığı nedir? P(X = 1), P(X = 2) ve bu şekilde P(X = 5) olasılıklarına kadar hepsini hesaplayıp toplayabiliriz. Daha hızlı yol tümleyen olay üzerinden gider. “En az bir doğru”nun tersi “hepsi yanlış”tır. Hiçbirini doğru yapmamak, art arda beş kez yanlış yapmak demektir:

$$P(X=0)={\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{1024}$$

Sonucu 1’den çıkarırız:

$$P(X\ge 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5=1-\frac{243}{1024}=\frac{781}{1024}$$

En az bir soruyu yaklaşık %76 olasılıkla doğru yaparız. Umut verici geliyor, ama beş sorudan tek doğruyla sınavı geçemezsin.

Sınavı geçmek için en az üç doğru cevap gerektiğini varsayalım. Burada tümleyen olay işimize yaramaz, o da üç terimden oluşurdu; bu yüzden üç durumu doğrudan toplarız. Önce üç doğru:

$$P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac{9}{16}=\frac{90}{1024}$$

Dört doğru:

$$P(X=4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot \frac{3}{4}=5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}$$

Son olarak beşi de doğru:

$$P(X=5)={\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{1024}$$

Toplayalım:

$$P(X\ge 3)=\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}\approx 0,10$$

Rastgele işaretleyerek sınavı yaklaşık %10 olasılıkla geçeriz. Yani çalışmak mantıklı.

Aynı formülle $P(X=1)=\frac{405}{1024}$ olasılığını da hesaplarsak altı olasılığın hepsi elimizde olur ve bunları çizebiliriz. Her sütunun üstünde kesrin payı yazıyor, payda her zaman 1.024. Kesikli çizginin sağındaki kırmızı sütunlar sınavı geçtiğimiz durumlara karşılık gelir:

Şimdi hesapta hata yapıp yapmadığımızı kontrol edebiliriz. Bütün payların toplamı 1.024 etmelidir, çünkü doğru cevap sayısı mutlaka bir değer alır:

$$243+405+270+90+15+1=1024$$

Tutuyor. Grafik ayrıca en sık bir soruyu doğru yapacağımızı gösteriyor. Ortalama olarak $n\cdot p=5\cdot \frac{1}{4}=1,25$ soru doğru yaparız; beklediğimiz de tam olarak buydu: beşin dörtte biri.