Διωνυμική κατανομή

Φαντάσου ένα τεστ με πέντε ερωτήσεις. Σε κάθε ερώτηση υπάρχουν τέσσερις επιλογές και ακριβώς μία από αυτές είναι σωστή. Δεν διάβασες καθόλου για το τεστ και έτσι σε κάθε ερώτηση απλώς μαντεύεις. Με ποια πιθανότητα θα πετύχεις ακριβώς δύο ερωτήσεις; Ακριβώς γι' αυτό χρησιμεύει η διωνυμική κατανομή.

Με μία ερώτηση θα ήταν παιχνιδάκι. Από τις τέσσερις επιλογές η μία είναι σωστή, άρα τη βρίσκουμε με πιθανότητα $\frac{1}{4}$ και δεν τη βρίσκουμε με πιθανότητα $\frac{3}{4}$. Το πρόβλημα είναι ότι οι ερωτήσεις είναι πέντε και εμείς θέλουμε να πετύχουν οι δύο και να αποτύχουν οι τρεις.

Μία συγκεκριμένη σειρά

Πρώτα εστιάζουμε σε μία συγκεκριμένη σειρά. Ας πούμε ότι πετυχαίνουμε τις δύο πρώτες ερωτήσεις και κάνουμε λάθος στις υπόλοιπες τρεις. Το γράφουμε ως ΣΣΛΛΛ (σωστό, σωστό, λάθος, λάθος, λάθος).

Οι ερωτήσεις είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους – το ότι πετύχαμε την πρώτη ερώτηση ούτε βοηθά ούτε βλάπτει τη δεύτερη. Μπορούμε λοιπόν να πολλαπλασιάσουμε τις πιθανότητες των επιμέρους ερωτήσεων:

$$P(\text{ΣΣΛΛΛ})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$$

Τους παράγοντες που επαναλαμβάνονται τους συγκεντρώνουμε σε δυνάμεις:

$$P(\text{ΣΣΛΛΛ})={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$$

Υψώνουμε στις δυνάμεις:

$$P(\text{ΣΣΛΛΛ})=\frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{27}{1024}$$

Αυτή όμως είναι μόνο μία από τις δυνατότητες. Οι δύο σωστές απαντήσεις μπορεί να εμφανιστούν και με τη σειρά ΣΛΣΛΛ, ΛΛΛΣΣ και ούτω καθεξής. Κάθε τέτοια σειρά έχει την ίδια πιθανότητα $\frac{27}{1024}$, γιατί και σε αυτήν βρίσκουμε πάλι δύο φορές το $\frac{1}{4}$ και τρεις φορές το $\frac{3}{4}$, απλώς με άλλη σειρά, και η σειρά των παραγόντων στον πολλαπλασιασμό δεν παίζει ρόλο.

Και πόσες τέτοιες σειρές υπάρχουν; Από τις πέντε ερωτήσεις επιλέγουμε τις δύο που θα είναι σωστές, και δεν έχει σημασία με ποια σειρά τις επιλέγουμε. Αυτοί είναι ακριβώς οι συνδυασμοί:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10$$

Υπάρχουν λοιπόν δέκα διαφορετικές σειρές και καθεμία έχει πιθανότητα $\frac{27}{1024}$. Οι επιμέρους σειρές αποκλείουν η μία την άλλη, γι' αυτό προσθέτουμε τις πιθανότητές τους, δηλαδή πολλαπλασιάζουμε επί δέκα:

$$P(\text{ακριβώς δύο σωστές})=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx 0,26$$

Μαντεύοντας λοιπόν πετυχαίνουμε ακριβώς δύο ερωτήσεις με πιθανότητα περίπου 26%. Είναι δελεαστικό να υπολογίσουμε μόνο το ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$ και να ξεχάσουμε τις δέκα σειρές. Το αποτέλεσμα θα ήταν δέκα φορές μικρότερο από ό,τι πρέπει.

Ο τύπος

Την ίδια διαδικασία μπορούμε να εφαρμόσουμε για οποιονδήποτε αριθμό ερωτήσεων και για οποιαδήποτε πιθανότητα. Γενικά κάθε ερώτηση λέγεται δοκιμή και οι σωστές απαντήσεις επιτυχίες. Τον αριθμό των επιτυχιών τον συμβολίζουμε με την τυχαία μεταβλητή X και η διωνυμική κατανομή είναι τότε η κατανομή πιθανότητας αυτής της μεταβλητής. Αν ψάχνεις μόνο τον τύπο, την πιθανότητα να πετύχουν ακριβώς κ από ν δοκιμές, την υπολογίζεις ως

$$P(X=\kappa )=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\nu }{\kappa })\cdot p^{\kappa }\cdot (1-p{)}^{\nu -\kappa },$$

όπου p είναι η πιθανότητα επιτυχίας σε μία δοκιμή. Η δύναμη p^κ αντιστοιχεί στις κ επιτυχίες, η δύναμη (1 − p)^{ν − κ} στις υπόλοιπες ν − κ αποτυχίες και ο διωνυμικός συντελεστής $(\genfrac{}{}{0ex}{}{\nu }{\kappa })$ δείχνει με πόσες διαφορετικές σειρές μπορεί να συμβεί αυτό.

Το τεστ μας έχει ν = 5, κ = 2 και $p=\frac{1}{4}$. Αντικαθιστούμε:

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{270}{1024}$$

Βγήκε το ίδιο όπως πριν – ο τύπος είναι ουσιαστικά απλώς συντομογραφία της διαδικασίας από την προηγούμενη ενότητα.

Προσοχή, ο τύπος ισχύει μόνο κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις. Πρέπει να ισχύουν τέσσερα πράγματα:

• ο αριθμός των δοκιμών ν είναι δεδομένος εκ των προτέρων,
• οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους,
• σε όλες τις δοκιμές η πιθανότητα επιτυχίας p είναι η ίδια,
• κάθε δοκιμή έχει μόνο δύο αποτελέσματα: επιτυχία ή αποτυχία.

Το μάντεμα στο τεστ ικανοποιεί και τις τέσσερις προϋποθέσεις. Αν όμως σε κάποιες ερωτήσεις ήξερες την απάντηση, η πιθανότητα επιτυχίας θα διέφερε από ερώτηση σε ερώτηση και ο τύπος θα έπαυε να ισχύει.

Τουλάχιστον

Στην πράξη συχνά δεν μας ενδιαφέρει το «ακριβώς δύο», αλλά το «τουλάχιστον ένα». Ποια είναι η πιθανότητα να πετύχουμε μαντεύοντας τουλάχιστον μία ερώτηση; Θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε τα P(X = 1), P(X = 2) μέχρι το P(X = 5) και να τα προσθέσουμε όλα. Πιο γρήγορος δρόμος περνά από το αντίθετο ενδεχόμενο. Το αντίθετο του «τουλάχιστον μία σωστή» είναι το «όλες λάθος». Να μην πετύχουμε τίποτα σημαίνει να αστοχήσουμε πέντε φορές στη σειρά:

$$P(X=0)={\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{1024}$$

Το αποτέλεσμα το αφαιρούμε από το ένα:

$$P(X\ge 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5=1-\frac{243}{1024}=\frac{781}{1024}$$

Τουλάχιστον μία ερώτηση πετυχαίνουμε με πιθανότητα περίπου 76%. Ακούγεται ελπιδοφόρο, μόνο που με μία σωστή απάντηση στις πέντε το τεστ δεν θα το περάσεις.

Ας υποθέσουμε ότι για να περάσουμε το τεστ χρειαζόμαστε τουλάχιστον τρεις σωστές απαντήσεις. Το αντίθετο ενδεχόμενο εδώ δεν θα βοηθούσε, κι αυτό θα είχε τρεις όρους, γι' αυτό προσθέτουμε τις τρεις περιπτώσεις απευθείας. Πρώτα τρεις σωστές:

$$P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac{9}{16}=\frac{90}{1024}$$

Τέσσερις σωστές:

$$P(X=4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot \frac{3}{4}=5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}$$

Τέλος, και οι πέντε σωστές:

$$P(X=5)={\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{1024}$$

Προσθέτουμε:

$$P(X\ge 3)=\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}\approx 0,10$$

Μαντεύοντας περνάμε το τεστ με πιθανότητα περίπου 10%. Άρα αξίζει να διαβάσεις.

Αν με τον ίδιο τύπο υπολογίσουμε και το $P(X=1)=\frac{405}{1024}$, έχουμε και τις έξι δυνατότητες και μπορούμε να τις σχεδιάσουμε. Πάνω από κάθε στήλη είναι ο αριθμητής του κλάσματος, ο παρονομαστής είναι πάντα 1024. Οι κόκκινες στήλες μετά τη διακεκομμένη γραμμή αντιστοιχούν στις περιπτώσεις όπου περνάμε το τεστ:

Τώρα μπορούμε να ελέγξουμε αν κάναμε λάθος στους υπολογισμούς. Όλοι οι αριθμητές πρέπει να δίνουν μαζί 1024, γιατί κάποιος αριθμός σωστών απαντήσεων σίγουρα θα συμβεί:

$$243+405+270+90+15+1=1024$$

Σωστά. Το γράφημα δείχνει επίσης ότι συχνότερα πετυχαίνουμε μία ερώτηση. Κατά μέσο όρο πετυχαίνουμε $\nu \cdot p=5\cdot \frac{1}{4}=1,25$ ερωτήσεις, που είναι ακριβώς αυτό που θα περιμέναμε: το ένα τέταρτο του πέντε.