Rango de una matriz

El rango de una matriz es el número que representa la cantidad de filas o columnas independientes de la matriz.

Definición

El rango de una matriz es el número máximo de filas o columnas linealmente independientes de la matriz. La matriz nula tiene rango cero, cualquier otra matriz tiene rango al menos uno. Una matriz de dimensión m × n puede tener como máximo rango min(m, n). Es decir, si la matriz tiene menos filas que columnas, el rango de la matriz será, como mucho, igual al número de filas. De manera similar para las columnas.

El rango de una matriz suele designarse con la abreviatura rg (en inglés, «rank»). Escribimos entonces rg(A) = x.

Cómo calcular el rango

Veamos ahora cómo se calcula el rango de una matriz. Es bastante sencillo. Tienes que transformar la matriz hasta dejarla en una forma en la que ya se vea con claridad qué filas son linealmente independientes. Lo más habitual es llevar la matriz a su forma escalonada (ceros por debajo de la diagonal) y entonces ya se ve cómo está la matriz. Vamos con un ejemplo. Tenemos esta matriz:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 1& -1\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Y tenemos que averiguar su rango. Ahora tenemos que darnos cuenta de un pequeño detalle. Si tenemos dos filas llenas de números distintos de cero, teóricamente pueden ser linealmente dependientes. Tendríamos que calcularlo. Pero si una de esas filas tiene un cero en algún lugar y la otra fila no tiene un cero en ese mismo lugar, podemos afirmar con seguridad que no son dependientes. No encontraremos, en efecto, ningún número por el que podamos multiplicar ese cero (y, por tanto, toda la fila) para obtener allí el mismo número que hay en la otra fila. Por eso intentaremos siempre llevar las matrices a la forma escalonada, para conseguir esos ceros.

El párrafo anterior podemos escribirlo así. Si α₁, α₂ ≠ 0, entonces:

$${\alpha }_1\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)+{\alpha }_2\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{ccc}0& a& b\end{array}\right)$$

Por eso intentamos llegar a una matriz de forma parecida, para ver fácilmente las dependencias. Fíjate en este ejemplo:

$$\left(\begin{array}{ccc}4& -5& 1\\ 0& 7& 2\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$

Esta es una matriz en forma escalonada y ninguna fila es linealmente dependiente. No puedes expresar la tercera fila con las dos primeras, porque, si tienes coeficientes alfa distintos de cero, siempre te quedará algún número distinto de cero en los primeros lugares.

El procedimiento suele ser este: primero conseguimos ceros en la primera columna (salvo en la primera fila). Después seguimos transformando la matriz para conseguir ceros en la segunda columna, luego en la tercera, etcétera, etcétera, etcétera, hasta que al final tenemos la forma escalonada. Contamos las filas no nulas y ¡voilà!, ya tenemos el rango de la matriz. Podemos usar estas transformaciones sin que cambie el rango de la matriz:

• Intercambiar dos filas cualesquiera.
• Multiplicar una fila por cualquier expresión distinta de cero.
• Sumar una fila a otra.
• Todas las transformaciones anteriores pueden aplicarse también a las columnas.

Ejemplo

En nuestra matriz anterior haremos las transformaciones así: nos fijamos en la relación entre los elementos a₁₁ y a₂₁. Vemos que son iguales, así que, para obtener un cero en el lugar de a₂₁, tenemos que sumar −1 veces la primera fila. Sumamos −1 veces la primera fila a la segunda fila (o sea, a la segunda fila le restamos la primera):

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Ahora tenemos un cero donde queríamos tenerlo. Todavía tenemos que conseguir un cero en la posición a₃₁. Ahí hay de nuevo un uno, así que simplemente restamos la primera fila:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$$

Ya tenemos ceros en la primera columna, así que nos ponemos con ganas con la segunda columna. Vemos que los números a₂₂ y a₃₂ son opuestos, así que basta sumar las filas:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Y hemos obtenido una fila nula. Las transformaciones ya están hechas, hemos llegado a la forma escalonada. Ahora solo contamos las filas no nulas y ya tenemos el rango: rg(A) = 2. Esta matriz tenía rango dos.

Segundo ejemplo

Ahora intentemos calcular el rango de una matriz algo mayor:

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 5& 1\\ 1& 3& 5& -7\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

El rango de una matriz es el número máximo de filas linealmente independientes, así que podemos permitirnos reordenar las filas de la matriz como queramos. Aquí vendría bien, por ejemplo, tener arriba del todo la fila con un uno al principio, para que los cálculos sean más cómodos. Podemos, pues, sin miedo, intercambiar la primera fila con la segunda:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 7& 2& 5& 1\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Ahora procederemos igual que en el ejemplo anterior. Tenemos que conseguir ceros en toda la primera columna (salvo, por supuesto, en la primera fila), así que a la segunda fila le sumamos −7 veces la primera, a la tercera −4 veces y a la última −2 veces. La primera fila queda sin cambios:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& -19& -30& 50\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& 2& 0& 5\end{array}\right)$$

De nuevo intercambiamos filas; esta vez deberíamos poner la última fila en lugar de la segunda, por el dos de la segunda posición. Intercambiamos la segunda y la cuarta fila:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& -19& -30& 50\end{array}\right)$$

Pero vemos que debajo del dos tenemos los números −17 y −19. Ninguno de esos números es divisible por dos, lo cual es incómodo, incluso bastante feo. Por eso ahora multiplicamos la tercera y la cuarta fila por dos:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -34& -38& 56\\ 0& -38& -60& 100\end{array}\right)$$

Ahora podemos seguir con las transformaciones e intentar hacer ceros en la segunda columna. A la tercera fila le sumamos 17 veces la segunda y a la cuarta, 19 veces:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& -38& 141\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

Bueno, ahora hemos obtenido unos números bastante incómodos para la siguiente transformación, pero de algún modo nos las arreglaremos. Dividimos la tercera fila entre −38:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

Y ahora multiplicamos la tercera fila por 60 y la sumamos a la cuarta fila:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& 195-\frac{60\cdot 141}{38}\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& -\frac{525}{19}\end{array}\right)$$

Nos ha salido un número feo, pero distinto de cero. La matriz tiene, pues, rango cuatro y no contiene ninguna fila linealmente dependiente.

Ejemplo con parámetro

¿Cuál es el rango de la matriz A en función del parámetro q?

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)$$

Este ejercicio es algo más complicado, porque tenemos un parámetro q. Tenemos que averiguar para qué valores de q la matriz tiene rango máximo, si es que lo tiene para alguno, y para cuáles tiene rango menor. Procederemos de la manera habitual, solo que de vez en cuando, en lugar de valores concretos, calcularemos con el q abstracto. En el primer paso movemos el parámetro q a un lugar más cómodo, concretamente a la esquina inferior derecha. Intercambiamos, pues, la segunda fila con la tercera y, a continuación, la primera columna con la última:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ 4& 1& 3\\ q& 5& 8\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)$$

Ahora hemos colocado el parámetro en un lugar adecuado, donde no molestará demasiado. Pero en la primera columna tenemos números bastante incómodos; sin embargo, justo en el centro tenemos un uno: lo movemos arriba a la izquierda, es decir, intercambiamos la primera y la segunda fila y la primera y la segunda columna:

$$\left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 17& 8& 1\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Ahora ya tenemos una matriz bonita. Multiplicamos la primera fila por −8 y la sumamos a la segunda fila:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Multiplicamos la primera fila por −5 y la sumamos a la tercera fila:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)$$

Bien, la primera columna ya la tenemos como necesitamos. Ahora sumamos −1 veces la segunda fila a la tercera:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& 0& q+11\end{array}\right)$$

Y hemos terminado con las transformaciones de la matriz. Vemos que la primera y la segunda fila son sin duda linealmente independientes. Pero la tercera fila puede ser linealmente dependiente. La fila será linealmente dependiente si es toda nula, es decir, si elegimos el parámetro q de modo que la expresión q + 11 sea igual a cero. Evidentemente, si q = −11, la fila es nula y, por tanto, es linealmente dependiente.

Así que el veredicto final es: para q = −11 la matriz tiene rango dos; en los demás casos, rango tres.