Matrices

Una matriz sobre un cuerpo P es una aplicación {1, 2, …, n} × {1, 2, …, m} → P. Las matrices se designan normalmente con letras mayúsculas: A = (…). Y ahora, en cristiano.

Conceptos básicos

Una matriz es, sencillamente, una especie de tabla de n columnas y m filas, aunque esta designación de filas y columnas no siempre tiene que ser la misma, ojo con eso. En cada celda de la tabla hay un número u otra expresión. Las matrices no tienen por qué ser puramente numéricas, aunque al principio es muy probable que no te encuentres con otras. Veamos, pues, qué aspecto puede tener una matriz:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 51 \end{array})$

Esta matriz tiene dos filas y tres columnas. Los elementos de la matriz se designan mediante índices y, en lugar de la letra mayúscula, se usa la minúscula: a₁₁ = 0 o a₂₃ = 51. El primer índice indica la fila y el segundo, la columna.

Tipos especiales de matrices

Las matrices pueden tener distintas propiedades y algunas matrices especiales tienen incluso nombre propio.

Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. Si la matriz no es cuadrada, es rectangular. Ejemplo de matriz cuadrada:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})$

La matriz nula es una matriz que tiene ceros en todas las posiciones. a_ij = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

La matriz identidad es una matriz cuadrada que tiene unos en la diagonal principal y ceros en todos los demás sitios. La diagonal principal es como la «diagonal» de izquierda a derecha. Son, en pocas palabras, los números situados en las coordenadas en las que i = j.

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$

Una matriz escalonada es una matriz que tiene las filas nulas al final (o no tiene ninguna fila nula) y en la que cada fila no nula empieza con más ceros que la fila anterior. Todas estas son matrices escalonadas:

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & π \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), A_{3} = (\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array})$

La matriz traspuesta de una matriz A es la matriz A^t en la que se cumple $a_{i j} = a_{j i}^{t}$ , es decir, el elemento que estaba en la fila i y la columna j estará en la matriz traspuesta en la fila j y la columna i. En pocas palabras, intercambias las filas de la matriz por columnas.

$\begin{array}{rcl} {(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})}^{t} & = & (\begin{array}{ccc} 0 & 8 & 47 \\ 1 & 5 & 154 \\ 5 & 23 & 2 \end{array}) \\ {(\begin{array}{ccc} 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \end{array})}^{t} & = & (\begin{array}{cc} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{array}) \end{array}$

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada A que cumple la igualdad A = A^t. Los elementos simétricos respecto de la diagonal son iguales. Podemos escribir, pues, que a_ij = a_ji.

$A = (\begin{array}{ccc} 9 & 3 & 4 \\ 3 & 7 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{array})$

Una matriz antisimétrica es casi lo mismo que una matriz simétrica, solo que los elementos del otro lado tienen el signo opuesto: A = −A^t. Por eso los elementos de la diagonal principal deben ser nulos, porque a = −a = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & - 3 & - 4 \\ 3 & 0 & 5 \\ 4 & - 5 & 0 \end{array})$

Una matriz diagonal es una matriz que tiene ceros en todas partes salvo en la diagonal principal. Más exactamente, en todos los demás sitios deben ser ceros; lo que hay en la diagonal principal no está especificado.

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Operaciones básicas con matrices

Las matrices podemos sumarlas, podemos multiplicarlas por un número y podemos multiplicar también unas matrices por otras.

La suma de matrices es bastante intuitiva. Si las matrices son de la misma dimensión (= mismo número de columnas y de filas), la matriz resultante tendrá en las mismas posiciones las sumas de los números de las posiciones correspondientes de las matrices anteriores. O sea, si sumamos las matrices A + B = C, entonces se cumple a_ij + b_ij = c_ij.

$(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) + (\begin{array}{ccc} 5 & 4 & 3 \\ 10 & 20 & 30 \\ 7 & - 54 & - 12 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 5 & 5 & 8 \\ 18 & 25 & 53 \\ 54 & 100 & - 10 \end{array})$

La suma de matrices es, evidentemente, conmutativa y asociativa. A + B = B + A y A + (B + C) = (A + B) + C.

El producto de una matriz por un número también es intuitivo. Coges el número y multiplicas por él cada elemento de la matriz, nada más. k · A = k · a_ij.

$5 \cdot (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 0 & 5 & 25 \\ 40 & 25 & 115 \\ 235 & 770 & 10 \end{array})$

Multiplicación de matrices

La multiplicación de matrices ya es un asunto algo más complicado, porque no es tan intuitiva como cabría esperar. No basta con multiplicar los elementos correspondientes. En primer lugar, las matrices deben cumplir el criterio de que el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda. Lo demás puede ser cualquiera. Ahora ya podemos definir el producto (n es el número de columnas de la primera matriz):

$(A \cdot B)_{i j} = \sum_{p = 1}^{n} a_{i p} \cdot b_{p j}$

¿Qué, te has quedado como estabas? Voy a intentar aclararlo también para los menos espabilados :-). Coges la primera fila de la primera matriz y la primera columna de la segunda. Ahora multiplicas el primer elemento por el primer elemento y lo sumas al producto del segundo elemento por el segundo elemento y lo sumas, etcétera. Así obtienes en la nueva matriz C el elemento c₁₁. Lo mejor será un ejemplo. Multipliquemos estas dos matrices:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Ahora elegimos la primera fila de la primera matriz y la primera columna de la segunda:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Para que la notación sea más clara, designaremos con C la matriz recién obtenida. Si queremos obtener el primer elemento de esta matriz, debemos calcular esto: c₁₁ = a₁₁ · b₁₁ + a₁₂ · b₂₁. Fíjate en que en el primer lugar del índice está la fila y después la columna. Al sustituir obtenemos: 1 · 5 + 2 · 7 = 19. El primer elemento tiene el valor 19:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & ? \\ ? & ? \end{array})$

El siguiente elemento, c₁₂, lo obtenemos de la misma manera, solo que tomamos la primera fila y la segunda columna. Con este laborioso cálculo obtenemos siempre el elemento que tienen en común. La primera fila y la primera columna tienen en común el elemento de coordenadas c₁₁, la primera fila y la segunda columna, en cambio, el c₁₂. Lo muestra muy bien la siguiente figura:

Producto de matrices

Ahora solo falta multiplicar rápidamente el resto de la matriz:

$\begin{array}{rcl} c_{12} & = & a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22. \\ c_{21} & = & a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43. \\ c_{22} & = & a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50. \end{array}$

Estos números solo hay que escribirlos en la matriz:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{array})$

La corrección del resultado podemos comprobarla, por ejemplo, en Excel o en el Calc de OpenOffice, que contienen funciones para trabajar con matrices.

Ahora, algunas ideas generales sobre la multiplicación de matrices. Ante todo, la multiplicación de matrices no es conmutativa. En general no se cumple que A · B = B · A, aunque, por supuesto, ese caso puede darse. Pero la multiplicación de matrices es asociativa. Con la suma es incluso distributiva: A (B + C) = AB + AC. Si multiplicamos dos matrices a_ix · b_xn, la matriz resultante será de dimensión i × n (tendrá tantas filas como filas tiene la primera matriz y tantas columnas como columnas tiene la segunda matriz).

Ejemplos

Tenemos estas tres matrices:

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}), C = (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) .$

Calcula el producto de matrices A · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 36 & 41 & 43 \\ 90 & 98 & 106 \\ 144 & 155 & 169 \end{array})$

Calcula el producto de matrices B · A.

Ojo: como la multiplicación de matrices no es conmutativa, no podemos afirmar con seguridad que el resultado vaya a ser el mismo que en el caso anterior. Tenemos que calcularlo todo de nuevo:

$(\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 68 & 82 & 96 \\ 86 & 112 & 138 \\ 87 & 105 & 123 \end{array})$

Calcula el producto de matrices A · C y C · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 28 & 14 \\ 67 & 50 \\ 106 & 86 \end{array})$

El segundo producto no podemos calcularlo, porque el número de columnas de la primera matriz es distinto del número de filas de la segunda.

Transformaciones elementales

Para poder trabajar con matrices de manera eficaz, debemos definir algunas transformaciones elementales. Ante todo, podemos multiplicar una fila o columna de la matriz por un número distinto de cero. El efecto es el mismo que al multiplicar la matriz por k, pero solo en esa fila o columna.

La segunda transformación es sumar a la fila i la fila j multiplicada por k. Lo mismo vale para las columnas. Suena un poco aterrador, pero en realidad es sencillo. Lo mostraremos para k = 1. Tendremos esta matriz:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Ahora sumamos a la primera fila la segunda. Cogemos, pues, la segunda fila y sumamos los números de las posiciones correspondientes a los números de la primera fila. Los números de la segunda fila no cambian, solo cambia la primera fila:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Ahora podemos continuar con las transformaciones. Probemos a sumar el doble de la primera fila a la tercera. Tomamos de esta matriz recién obtenida la primera fila, la multiplicamos por dos, con lo que obtenemos la fila (10, 14, 18), y sumamos esos números a la tercera fila. De nuevo, la primera fila no cambia, solo cambia la tercera:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 17 & 22 & 27 \end{array})$

Ahora sumamos de nuevo a la tercera fila la suma de la primera y la segunda. En el fondo no es nada nuevo, porque si a la tercera fila le sumamos primero la segunda y luego la primera, tenemos que llegar al mismo resultado. La suma de la primera y la segunda fila será igual a: (5, 7, 9) + (4, 5, 6) = (9, 12, 15). La suma de esta fila con la tercera será entonces igual a: (9, 12, 15) + (17, 22, 27) = (26, 34, 42).

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 26 & 34 & 42 \end{array})$

Y una transformación más, por columnas (estas no suelen usarse tanto, porque no son tan claras). Sumamos la primera columna a la segunda:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 4 & 9 & 6 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Y, por último, multiplicamos la segunda fila por dos:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 8 & 18 & 12 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Dependencia lineal

Ahora vamos a explicar qué son las filas o columnas dependientes. Una fila es linealmente dependiente si esa fila puede expresarse como combinación lineal de las demás filas de la matriz. En pocas palabras, si eres capaz de sumar filas de distintas maneras de modo que al final te salga la fila buscada, esa fila es linealmente dependiente. Ejemplo:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array})$

Si tomas el doble de la primera fila y la segunda fila, obtienes la tercera fila. Si a la tercera fila le restas esta combinación, obtienes una fila nula (una fila que contiene solo ceros). Esta fila es dependiente. Las transformaciones las haremos, pues, así (multiplicamos la primera fila por dos, la sumamos a la segunda y la restamos de la tercera):

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

Si tenemos una matriz A que tiene n filas y A_i designa la i-ésima fila, diremos que la matriz no contiene ninguna fila linealmente dependiente si:

$α_{1} A_{1} + α_{2} A_{2} + \dots + α_{n} A_{n} = 0$

si y solo si α₁, α₂, …, α_n = 0. El cero del lado derecho de la ecuación representa la fila nula. Es decir, si la única solución de esta ecuación es la solución trivial. Si encontramos otra solución, la matriz contiene una fila linealmente dependiente. De manera análoga para las columnas. Para la matriz anterior se cumpliría:

$\begin{array}{rcl} 2 (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \end{array}) + 1 (\begin{array}{c} 4 & 5 & 6 \end{array}) - 1 (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = \\ = (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Los valores de alfa son, pues, α₁ = 2, α₂ = 1, α₃ = −1.

El número de filas o columnas independientes lo indica el rango de una matriz.

Matrices regulares y singulares

Una matriz se llama regular si tiene rango máximo (es decir, si no hay en ella ninguna fila linealmente dependiente) y si es una matriz cuadrada. Una matriz cuadrada se llama singular si no es regular (es decir, si la matriz contiene al menos una fila linealmente dependiente). Estos dos conceptos son bastante importantes o, mejor dicho, muchas definiciones se apoyan en ellos. Muchas cosas están definidas solo si la matriz es regular.