Espacios vectoriales

Un espacio vectorial, también llamado espacio lineal, es un conjunto de elementos que deben cumplir ciertas propiedades, gracias a las cuales los elementos de este conjunto, a los que llamamos vectores, se comportan «bien».

Ejemplo de espacio vectorial

Antes de definir el espacio vectorial, veamos un ejemplo que ya deberías conocer de secundaria, solo que quizá no sabías que es un espacio vectorial. Son los vectores clásicos del plano.

Por vector del plano entendemos un par ordenado (a, b), donde a, b ∈ ℝ. Son unas coordenadas cualesquiera en el espacio ℝ² (con esto nos referimos al producto cartesiano ℝ × ℝ). Un vector así lo podemos representar mediante una flecha del punto (0, 0) al punto (a, b). El vector (2, 3) tendría este aspecto:

Sabemos que los vectores se pueden sumar según la regla (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). La suma de vectores (2, 3) + (4, 1) sería igual al vector (2 + 4, 3 + 1) = (6, 4). Gráficamente lo representaríamos así:

Al mismo tiempo podemos calcular el producto de un vector por un número k, donde k es un número real. El producto por k lo escribimos como k · (a, b). El resultado es un nuevo vector, definido como k · (a, b) = (k · a, k · b). Gráficamente esto se manifiesta en que el vector se «alarga», se «acorta» o cambia de sentido. Si tenemos el vector u = (2, 3), los vectores 2 · u, $\frac{1}{2}u$ y −1 · u tienen este aspecto:

Que el conjunto de todos los vectores de ℝ² con las operaciones definidas así forma un espacio vectorial lo demostraremos más adelante. Primero definiremos el espacio vectorial y, en este espacio vectorial ℝ², iremos viendo cada una de las propiedades.

Definición de espacio vectorial

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es un conjunto no vacío V cuyos elementos llamamos vectores. Además, en el conjunto deben existir dos operaciones: la suma de vectores, es decir, una aplicación V × V ⟶ V, y la multiplicación de un vector por un número real, es decir, una aplicación ℝ × V ⟶ V. (De forma más general, en lugar del conjunto de los números reales se puede usar cualquier cuerpo, pero de eso hablaremos en artículos posteriores.) La suma de vectores se denota con el signo + y la multiplicación con ·. Estas dos operaciones deben cumplir las siguientes condiciones. Es decir, para todos los x, y, z ∈ V y para todos los a, b ∈ ℝ debe cumplirse (fíjate en que los vectores x, y, z van en negrita, mientras que los números a, b van en letra normal):

1. x + y = y + x: la suma de vectores es conmutativa. Si volvemos al ejemplo de los vectores de ℝ², da igual que sumemos los vectores así, (2, 3) + (4, 1), o al revés: (4, 1) + (2, 3) .

• (x + y) + z = x + (y + z): la suma de vectores es asociativa. De nuevo podemos sustituir por algunos vectores de ℝ² y veremos que sale bien.
• a · (b · x) = (a · b) · x: propiedad asociativa de la multiplicación. Para nuestros vectores se cumplirá que 4 · (5 · (6, 7)) es lo mismo que (4 · 5) · (6, 7). Los dos cálculos llevan al vector (20 · 6, 20 · 7).
• a · (x + y) = a · x + a · y: propiedad distributiva para los vectores de V. De nuevo vemos que 2 · ((2, 3) + (4, 5)) es lo mismo que 2 · (2, 3) + 2 · (4, 5). Las dos expresiones llevan al vector (2 · 6, 2 · 8).
• (a + b) · x = a · x + b · x: propiedad distributiva de la suma de números.
• 1 · x = x: si multiplicamos cualquier vector por el número real 1, el valor del vector no cambia. En nuestro caso se cumple que 1 · (5, 8) = (5, 8).
• Existe un elemento 0 ∈ V tal que 0 · x = 0. El cero en negrita, es decir, 0, es el llamado vector nulo, mientras que el cero normal 0 es simplemente el número cero. Esta condición dice que en V debe existir un vector que obtenemos al multiplicar cualquier vector x ∈ V por el número cero. Para nuestro espacio ℝ² es el vector (0, 0), porque para todos los vectores (a, b) ∈ ℝ² se cumple que 0 · (a,b) = (0, 0).

Estas son todas las propiedades que debe cumplir un espacio vectorial (lineal) V. Si multiplicamos un vector por un número real a, a este número a lo llamamos escalar. Por eso hablamos a menudo de multiplicación por un escalar y nos referimos a una expresión de la forma a · x, donde a es un número real y x es un vector.

Doble significado del signo más +

Ojo: en algunas expresiones el signo más + puede tener un doble significado. Por ejemplo, en la propiedad distributiva de la suma de números tenemos la ecuación (a + b) · x = a · x + b · x. Pues bien, el signo + del lado izquierdo suma números reales, porque tanto a como b son números reales, mientras que en el lado derecho suma vectores, porque el resultado del producto a · x es un vector.

Este reconocimiento automático se usa a menudo en matemáticas: por el contexto siempre está claro de qué suma se trata. Si tenemos la expresión x + y y x, y son vectores, usamos la suma de vectores. Si x, y fueran números, usaríamos la suma habitual. Si fueran matrices, usaríamos la suma de matrices, etcétera.

Para la suma de vectores podríamos usar otro signo, por ejemplo ⊕. Entonces la propiedad distributiva de la suma de números se podría escribir así: (a + b) · x = a · x ⊕ b · x. El + normal significa aquí la suma de los números reales a, b y el signo ⊕ significa la suma de vectores. Sin embargo, lo habitual es usar el mismo signo + para ambas versiones de la suma y su significado se deduce del contexto. Lo mismo vale para el signo ·.

El espacio vectorial R²

En la primera parte hemos definido el espacio vectorial V = ℝ²; ahora vamos a demostrar que realmente se trata de un espacio vectorial. Primero tenemos que comprobar si las operaciones de suma y multiplicación están bien definidas. La suma debe sumar dos vectores y el resultado debe ser un nuevo vector. Eso se cumple, porque (a, b) + (c, d) = (a + c,b + d). Al sumar dos vectores de ℝ² obtenemos un nuevo vector de ℝ².

Si, por ejemplo, definiéramos la suma de vectores como la suma de sus módulos, no sería una operación de suma válida en un espacio vectorial. El módulo del vector (a, b) lo calcularíamos como $\sqrt{a^2+b^2}$. El resultado de la suma (3, 4) + (5, 12) sería entonces el número $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+{12}^2}=5+13=18$, que no es un vector del espacio ℝ².

A continuación tenemos que comprobar si la multiplicación está bien definida. La multiplicación multiplica un número real por un vector de ℝ² y el resultado debe ser un nuevo vector de ℝ². Esto se cumple de nuevo, porque la multiplicación por un escalar la tenemos definida como k · (a,b) = (k · a, k · b).

Comprobaremos una por una las 7 propiedades que debe cumplir un espacio vectorial. En lugar de los vectores x, y iremos sustituyendo nuestros vectores (a, b), (c, d), … según convenga; no te asustes por ello.

1. x + y = y + x, conmutatividad de la suma de vectores. ¿Es conmutativa la suma de vectores que hemos definido? Sí, lo es, porque está definida como (a, b) + (c, d) = (a + c,b + d). Si en el lado izquierdo intercambiamos los vectores, obtenemos: (c, d) + (a, b) = (c + a,d + b). Como c + a es la suma de dos números reales y la suma de números reales es una operación conmutativa, se cumple que c + a = a + c y lo mismo para el segundo par: d + b = b + d. Por tanto, se cumple que (a + c,b + d) = (c + a,d + b).

• (x + y) + z = x + (y + z). Esto será un juego con paréntesis. En el fondo se trata de transformaciones sencillas, solo que resultarán poco claras, porque habrá sencillamente demasiados paréntesis. Intentaremos calcular esta suma de vectores:

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)=((a+c)+e,(b+d)+f)$$

Como a, c, e son números reales y la suma de números reales es asociativa, se cumple que (a + c) + e = a + c + e. Lo mismo para la segunda coordenada. Podemos escribir, por tanto, que

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c+e,b+d+f)$$

Ahora intentaremos sumar los mismos vectores con los paréntesis colocados de otra manera:

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a,b)+(c+e,d+f)=(a+(c+e),b+(d+f))$$

De nuevo se cumple que a + (c + e) = a + c + e, así que podemos escribir que

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a+c+e,b+d+f)$$

Vemos así que, pongamos los paréntesis como los pongamos en la suma de tres vectores, siempre llegamos al mismo vector (a + c + e, b + d + f). La operación de suma en ℝ² es, por tanto, asociativa y cumple también la segunda propiedad de los espacios vectoriales.

Puedes probar a sustituir las variables a, …, f por números concretos y verás que sale bien.

• a · (b · x) = (a · b) · x. De nuevo desarrollamos primero el lado izquierdo de la ecuación, sustituyendo x por el vector (c, d):

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=a\cdot (b\cdot c,b\cdot d)=(a\cdot (b\cdot c),a\cdot (b\cdot d))$$

Como la multiplicación de números reales es asociativa, obtenemos la igualdad a · (b · c) = a · b · c. Podemos escribir, por tanto:

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Ahora desarrollamos el lado derecho de la ecuación, es decir, el lado (a · b) · x:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=((a\cdot b)\cdot c,(a\cdot b)\cdot d)$$

De nuevo se cumple que (a · b) · c = a · b · c, así que:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Vemos que los dos lados de la ecuación llevan al mismo vector (a · b · c,a · b · d), así que la ecuación se cumple.

• a · (x + y) = a · x + a · y. El procedimiento será el mismo; desarrollamos el lado izquierdo de la ecuación:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=a\cdot \left((c+e,d+f)\right)=(a\cdot (c+e),a\cdot (d+f))$$

Como a, c, e son números reales, para los que la propiedad distributiva es válida, obtenemos la igualdad: a · (c + e) = ac + ae. Podemos escribir, por tanto:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=(ac+ae,ad+af)$$

Lado derecho de la ecuación:

$$a\cdot (c,d)+a\cdot (e,f)=(ac,ad)+(ae,af)=(ac+ae,ad+af)$$

Vemos que, tras las transformaciones, el lado izquierdo y el derecho de la ecuación son iguales.

• (a + b) · x = a · x + b · x: procederemos de forma muy parecida al paso anterior. Transformación del lado izquierdo de la ecuación:

$$(a+b)\cdot (c,d)=((a+b)\cdot c,(a+b)\cdot d)=(ac+bc,ad+bd)$$

Lado derecho:

$$a\cdot (c,d)+b\cdot (c,d)=(ac,ad)+(bc,bd)=(ac+bc,ad+bd)$$

• 1 · x = x: la verdad es que no creo que nadie haya llegado a leer hasta aquí, pero bueno, seguimos :-). Esta propiedad es, al menos, sencilla. Tenemos que comprobar que 1 · (a, b) = (a,b). Esto se cumple sin duda, porque

$$1\cdot (a,b)=(1\cdot a,1\cdot b)=(a,b)$$

• Existe un elemento 0 ∈ ℝ² tal que 0 · x = 0: es el vector (0, 0). Para él se cumple que 0 · (a,b) = (0, 0), porque

$$0\cdot (a,b)=(0\cdot a,0\cdot b)=(0,0)$$

Tamaño de los espacios vectoriales

¿Cuál es el espacio vectorial más pequeño que existe? Por la definición sabemos que un espacio vectorial es un conjunto no vacío V, así que el tamaño mínimo posible que podemos considerar es un conjunto con un solo vector. Por la séptima propiedad de la definición sabemos que el espacio debe contener el vector nulo. El conjunto V = {0} es, por tanto, un candidato a espacio vectorial más pequeño.

Podemos definir la suma como 0 + 0 = 0 y la multiplicación como a · 0 = 0. Hagamos lo que hagamos, siempre obtendremos el vector nulo. Es evidente que este conjunto de un solo elemento tendrá las siete propiedades exigidas.

Ya sabemos que existe un espacio vectorial de un solo elemento. ¿Existe un espacio vectorial que tenga dos elementos? ¿Podemos definir en el conjunto V = {x, 0} las operaciones de suma y multiplicación de modo que resulte un espacio vectorial?

La respuesta es que no: no existe ningún espacio vectorial de dos elementos. Y tampoco existe ningún otro espacio vectorial finito aparte del mencionado, el de un solo elemento. Todos los demás espacios vectoriales son ya infinitos. Pero si, como hemos apuntado, en lugar del conjunto de los números reales usáramos otro cuerpo, finito, podríamos obtener también otros espacios vectoriales finitos.

Resumen

La definición de espacio vectorial no es del todo sencilla: los vectores y las operaciones deben cumplir en total 7 condiciones, lo cual no es poco. Por otro lado, esas condiciones son bastante triviales y comprensibles: su objetivo es que se pueda trabajar bien con los vectores. Gracias a las condiciones definidas podemos sumar vectores de un espacio vectorial sin tener que comprobar si el resultado de la suma será un vector de otro espacio vectorial. Del mismo modo podemos multiplicar un vector por un número real y siempre obtendremos un vector del mismo espacio. Que los vectores y sus operaciones cumplen las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva es también bastante natural.

También podríamos definir el espacio vectorial de forma más general. En lugar del conjunto de los números reales podemos tomar cualquier cuerpo. De eso hablaremos en artículos posteriores.