Relación binaria en un conjunto

Por relación binaria en un conjunto entendemos una relación binaria definida entre dos conjuntos iguales.

Ejemplos

Una relación binaria en un conjunto es un tipo especial de relación binaria en el que ambos conjuntos base son el mismo. Una relación binaria en un conjunto es, por tanto, una relación R tal que R ⊆ M × M.

La relación «mayor que» es una relación binaria en un conjunto, porque a ambos lados trabajamos con números. Es decir, se cumple que > ⊆ ℝ × ℝ. La relación «padre-número de hijos» no es una relación binaria en un conjunto, porque los padres los elegimos del conjunto de todas las personas, mientras que el número de hijos lo elegimos de algún conjunto numérico.

Propiedades

Una relación binaria R en un conjunto M puede tener algunas propiedades interesantes. Decimos que la relación R es…

• reflexiva, si para todo a ∈ M se cumple que (a, a) ∈ R.
• simétrica, si para todos a, b ∈ M se cumple que, si (a, b) ∈ R, entonces también (b, a) ∈ R.
• antisimétrica, si para todos a, b ∈ M se cumple que, si (a, b) ∈ R y, al mismo tiempo, también (b, a) ∈ R, entonces a = b.
• transitiva, si para todos a, b, c ∈ M se cumple que, si (a, b) ∈ R y, al mismo tiempo, (b, c) ∈ R, entonces también (a, c) está en R.

Ejemplos de reflexividad

La reflexividad significa que un elemento está en la relación consigo mismo. Un ejemplo típico es la igualdad. Si tenemos definida la igualdad en los números naturales, desde luego se cumple que, para cualquier elemento a: a = a. Otro ejemplo puede ser la divisibilidad. Ahí vuelve a cumplirse que el número a es divisible entre sí mismo, es decir, el par (a, a) está en la relación de divisibilidad (el siete divide al siete).

La relación «menor que», en cambio, ya no es reflexiva, porque no se cumple que a < a. No es posible: el siete no puede ser menor que el siete. De manera similar, en la relación «ser el padre de su hijo» no puedo ser mi propio padre. Estas relaciones no son reflexivas.

Lo importante es que la reflexividad debe cumplirse para todos los elementos; no basta con encontrar algunos. Por ejemplo, la relación «apreciar a alguien». Puedo apreciar a alguien, por ejemplo, al revisor, pero también puedo apreciarme a mí mismo. Seguro que hay alguien que se aprecia a sí mismo. Pero igualmente habrá alguien que no se aprecia. Esa relación no es entonces reflexiva: todas las personas tendrían que apreciarse a sí mismas.

Ejemplos de simetría

En una relación simétrica se cumple que, si un par está en la relación, también está el par inverso. Por ejemplo, la relación «ser hermano». Si Juan es hermano de Julia, entonces Julia también es hermana de Juan. Entre las relaciones numéricas podría ser la relación «ser el opuesto». Me refiero a los pares 2 y −2 o −7 y 7. Son dos números que suman cero. Esta relación es simétrica, porque el orden sencillamente no importa: (2, −2) y (−2, 2) siguen siendo números opuestos entre sí y suman cero.

Una relación que no es simétrica es «menor que» (sobre los números reales). No tiene ni un solo elemento simétrico, porque nunca puede cumplirse a < b y, al mismo tiempo, b < a. Si 5 < 15, no puede cumplirse 15 < 5. Tampoco es simétrica la relación «ser el padre de su hijo». Puedes ser el padre de tu hijo, pero entonces el hijo ya no puede ser el padre de su padre.

Esta propiedad debe cumplirse de nuevo en todos los casos. Para que la relación «apreciar a alguien» (en el conjunto de todas las personas) fuera simétrica, si yo aprecio a Sofía, ella tendría que apreciarme también a mí. Y como ni siquiera me conoce, no puedo decir que me aprecie, lo cual es una pena, y la relación no es simétrica. Lo cual también es una pena.

Ejemplos de antisimetría

Un ejemplo clásico de relación antisimétrica es «menor o igual». La antisimetría nos dice que, si los pares (a, b) y (b, a) están en la relación, solo puede ser cuando los elementos son iguales, a = b. La relación «menor o igual» lo cumple. ¿Cuándo se cumple a ≤ b y, al mismo tiempo, b ≤ a? Únicamente en el caso de que a = b. Si sustituimos: ¿se cumple 3 ≤ 5 y, al mismo tiempo, 5 ≤ 3? No. Pero sí se cumple 4 ≤ 4 y, al mismo tiempo, 4 ≤ 4.

Un ejemplo de relación que no es antisimétrica pueden ser los pares de palabras que tienen la misma longitud, por ejemplo (sábado, tijera). Esa relación no es antisimétrica, porque encontramos un par de palabras que están en la relación, su elemento inverso también está en la relación y, sin embargo, las dos palabras son distintas. Tenemos el elemento ya mencionado (sábado, tijera) y su inverso: (tijera, sábado). Ambos están evidentemente en nuestra relación y, aun así, sábado ≠ tijera, así que la relación no es antisimétrica.

Ejemplo de transitividad

La relación «menor que» es transitiva. La transitividad nos dice que, si 3 < 4 y, al mismo tiempo, 4 < 5, entonces seguro que también se cumple 3 < 5. Para muchas relaciones es una propiedad bastante natural. De manera similar, en el ejemplo de las palabras con la misma longitud: si el par (tijera, sábado) está en la relación y el par (sábado, madero) también, entonces también está en la relación el par (tijera, madero).

La relación «ser el padre de» no es transitiva. Si Antonio es el padre de Paco y Paco es el padre de Miguel, Antonio no es el padre de Miguel, es su abuelo. De manera similar, la relación «apreciar a alguien» no es transitiva. Si yo aprecio a Sofía y Sofía aprecia a su marido, eso no significa que yo también aprecie al marido de Sofía.

La transitividad también se estudia con los dados clásicos. Consideremos la relación «el dado A es mejor que el dado B», que se da si en el dado A sale con más frecuencia (con mayor probabilidad) un número más alto que en el dado B. ¿Es transitiva esa relación? A eso responde el artículo dados no transitivos.

Equivalencia y orden

Algunos tipos especiales de relaciones binarias tienen también su propio nombre:

• Una equivalencia es una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva.
• Un orden es una relación que es reflexiva, antisimétrica y transitiva.