Operaciones con relaciones

Como las relaciones son en realidad conjuntos, podemos realizar con ellas las operaciones clásicas entre conjuntos.

Operaciones con conjuntos

En el artículo anterior hemos definido las relaciones como conjuntos. Con los conjuntos podemos realizar operaciones como la unión, la intersección o la diferencia. Veamos qué significado tiene esto en el caso de las relaciones.

Primero tenemos que imponer una condición, porque no podemos realizar estas operaciones entre relaciones cualesquiera. Si tenemos las relaciones «menor que» y «ser un número par», estas operaciones no tendrán sentido, porque la primera relación es binaria y la segunda unaria. Para que, tras aplicar la operación con conjuntos, obtengamos de nuevo una relación, todas las relaciones presentes deben tener la misma aridad, es decir, todas deben ser n-arias para un mismo n.

Unión

Tomemos las relaciones «menor que» e «igualdad». ¿Qué ocurre si unimos estas relaciones? En la relación menor que tenemos todos los pares (a, b) para los que se cumple a < b. En la relación de igualdad tenemos todos los pares (a, b) para los que se cumple a = b. En la relación < ∪ = estarán, pues, todos los pares (a, b) para los que se cumple a < b o a = b. El número a es menor que el número b o es igual a él. Esa relación la conocemos y la llamamos «menor o igual», y la designamos ≤.

Si tenemos las relaciones R₁ y R₂, la unión da lugar a la relación R = R₁ ∪ R₂, para la que se cumple: el elemento r está en la relación R si está en la relación R₁ o está en la relación R₂. Dicho de otro modo, estará en la relación resultante si estaba al menos en una de las relaciones unidas.

Intersección

En la unión obtuvimos una nueva relación cuyos elementos eran elementos de al menos una de las relaciones unidas. En la intersección ocurre algo parecido, solo que los elementos deben pertenecer a ambas relaciones.

Si volvemos a tomar las relaciones menor que e igualdad (sobre los números reales) y hacemos su intersección, ¿qué obtenemos? Deberíamos obtener los elementos que están en la relación menor que y que, al mismo tiempo, son iguales. Pero ese caso no puede darse, porque si a < b, nunca se cumple a = b. Obtendríamos la relación vacía.

Tomemos estas dos relaciones: «divisibilidad exacta» y una relación binaria que contiene los pares de elementos (a, b) en los que a es un número impar y b es un número par. Trabajemos sobre los números naturales. En la primera relación habría pares de números como (5, 15), (6, 30), (3, 123): el segundo número debe ser siempre divisible entre el primero. En la segunda relación estarán los pares de números en los que el primero es impar y el segundo par: (1, 4), (5, 14), (3, 24), etc. La intersección de estas relaciones da una nueva relación R que contendrá los pares (a, b) para los que se cumple que b es divisible entre a y, al mismo tiempo, a es impar y b es par. Por ejemplo: (5, 30) o (3, 24).

Diferencia

Si tenemos dos relaciones R₁ y R₂, la diferencia R₁ − R₂ da una nueva relación a la que pertenecen los elementos que están en R₁ pero no están en R₂. Podemos volver a las relaciones menor o igual e igualdad. Si la relación R₁ es menor o igual y la relación R₂ es la igualdad, la diferencia R₁ − R₂ nos da los elementos que están en la relación menor o igual pero no están en la relación de igualdad. Obtenemos así los pares (a, b) para los que se cumple a ≤ b y, al mismo tiempo, no se cumple a = b. Dicho de otro modo, obtenemos la relación menor que: <.

Complementario de una relación

Para cada relación podemos hallar su complementario. Los elementos del complementario de la relación R son todos los elementos que no pertenecen a la relación original R. Por ejemplo, el complementario de la relación de igualdad (es decir, =) es la relación «distinto de». En la primera relación tenemos todos los pares de elementos que son iguales (p. ej. 5 = 5), y en el complementario tenemos todos los pares de números que no son iguales (p. ej. 5 ≠ 6).

Lo único a lo que debes prestar atención al determinar el complementario de una relación es el conjunto base: el conjunto al que pertenece la relación. La relación de igualdad podemos definirla en los números naturales, en los enteros, en los reales, pero también en el conjunto de todas las personas de la Tierra.

Si tenemos una relación binaria R entre los conjuntos M₁ y M₂: R ⊆ M₁ × M₂, el complementario de la relación, que llamaremos S, es igual a S = (M₁ × M₂) ∖ R: son los elementos que están en el producto cartesiano de los conjuntos base pero no están en la relación R. De manera similar para relaciones de otras aridades.