Matriz inversa

La matriz inversa es una matriz que está definida para las matrices cuadradas regulares. Al multiplicar una matriz por su matriz inversa obtenemos la matriz identidad.

Definición

La matriz inversa solo puede calcularse a partir de una matriz cuadrada; en una matriz rectangular no está definida. Además, la matriz inversa de una matriz A (se escribe A⁻¹) existe únicamente si la matriz es regular (es decir, si no tiene filas linealmente dependientes). Esta matriz queda entonces determinada de manera única. Las dos propiedades principales de la matriz inversa son:

$$(A^{-1}{)}^{-1}=A$$

Y, sobre todo, la propiedad más importante de la matriz inversa (que es, al mismo tiempo, su definición):

$$A\cdot A^{-1}=I$$

I es la matriz identidad.

Cómo calcular la matriz inversa

Pasemos ahora al método de cálculo de la matriz inversa. El algoritmo más sencillo es el método de Gauss, que consiste en transformar la matriz A hasta convertirla en la matriz identidad, escribir al lado de ella la matriz identidad y aplicar a esta última exactamente las mismas transformaciones que a la matriz A. Al final del proceso de cálculo tienes a la izquierda la matriz A convertida en la matriz identidad y a la derecha, la matriz inversa. Probémoslo con un ejemplo sencillo:

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

De un vistazo comprobamos que la matriz es regular, así que tiene sentido calcular su matriz inversa. Cuando calculamos la matriz inversa, solemos escribirlo así:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 3& 4& 0& 1\end{array}\right)$$

Ahora transformamos la matriz de la izquierda hasta convertirla en la matriz identidad y realizamos las mismas transformaciones en la matriz de la derecha. Sumamos −3 veces la primera fila a la segunda. Primero, la matriz de la izquierda:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& 0& 1\end{array}\right)$$

Ahora sumamos −3 veces la primera fila de la matriz de la derecha a la segunda fila de la matriz de la derecha:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Ahora tenemos que conseguir un cero en la posición a₁₂. Basta con sumar a la primera fila la segunda. Esta vez hago las dos transformaciones en un solo paso:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Y ahora nos libramos de ese menos dos dividiendo toda la fila entre menos dos:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

La matriz inversa resultante es:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Si quieres comprobar que la matriz inversa calculada es correcta, multiplícala por la matriz original:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

Para comprobarlo, puedes echar un vistazo a WolframAlpha.

Cálculo mediante el determinante

La matriz inversa también podemos calcularla mediante el determinante. Si tenemos una matriz regular A, la matriz inversa A⁻¹ tiene elementos $a_{ij}^{-1}$ que son iguales a:

$$a_{ij}^{-1}=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

En el lado izquierdo tenemos i,j, pero en el numerador tenemos j,i; ojo con eso, no es un error que estén intercambiados. En el numerador tenemos la matriz A_j,i, que es una submatriz de la matriz A que obtenemos al suprimir de A la fila j y la columna i. Así, si

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$$

entonces se cumple:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{ccc}\text{⧸}1& \text{⧸}2& \text{⧸}3\\ \text{⧸}4& 5& 6\\ \text{⧸}7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right),A_{1,3}=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right),A_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right)$$

Si no te gusta que los índices estén al revés, podemos escribirlo también así:

$$(a_{ij}^{-1}{)}^t=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Es decir, si no intercambias los índices, calculas la traspuesta de la matriz inversa. Si vuelves a trasponer esta matriz traspuesta, obtienes la matriz inversa.

Calcular con este método suele ser laborioso; sirve sobre todo para el procesamiento automático, porque es muy directo. En el ejemplo vamos a calcular solo dos números. Tenemos, pues, esta matriz:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 2& -3& 1\\ 3& -5& -1\end{array}\right)$$

Primero calculamos el determinante de toda la matriz, que se usa en el denominador de la fracción:

$$det(A)=-1$$

Ahora calculamos el primer elemento de la matriz inversa. Lo designamos $a_{11}^{-1}$. Será igual a:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+1}\cdot \left|A_{1,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Necesitaremos la submatriz A_1,1. Al suprimir la primera fila y la primera columna obtenemos:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ -5& -1\end{array}\right)$$

Ahora tenemos que calcular el determinante de esta matriz:

$$det(A_{1,1})=8$$

Y ya podemos sustituir en la fórmula:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^2\cdot 8}{-1}=\frac{1\cdot 8}{-1}=-8$$

Y ya tenemos el primer resultado de la matriz inversa.

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

El segundo número lo obtenemos así:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+2}\cdot \left|A_{2,1}\right|}{\left|A\right|}$$

El determinante de la submatriz será igual a

$$det(A_{2,1})=\left|\begin{array}{cc}-4& 5\\ -5& -1\end{array}\right|=29$$

Y sustituyendo todo obtenemos:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^3\cdot 29}{-1}=\frac{-1\cdot 29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Otra pieza del rompecabezas:

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& 29& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Y así sucesivamente.