Relaciones

Una relación es el equivalente matemático del concepto corriente de «vínculo». En la vida cotidiana, por ejemplo, Lucía tiene un vínculo con Marta, en concreto el vínculo «madre-hija». Otro vínculo así puede ser «país-capital de ese país». Como ejemplo podemos tomar Egipto-El Cairo.

Más ejemplos de relaciones

Veamos más ejemplos. En la introducción hemos mencionado las relaciones (vínculos) «ser la madre de su hija» y «ser la capital de un país». Veamos otras: «ser un número par». En esta relación están los números 2, 4, 8, 18, 58, 66 y muchos más. Los números 1, 3, −7, 19 no están en la relación «ser un número par». Una relación del mundo real puede ser «ser hombre». Adrián, Miguel, Lucas o Martín están en la relación «ser hombre».

Otro ejemplo puede ser la relación «menor que». Por ejemplo, el número tres es «menor que» el número cinco. Matemáticamente podemos escribirlo como 3<5. O la relación de igualdad: el número tres «es igual» al número tres, matemáticamente: 3 = 3.

Podemos tener también ejemplos más complicados: «padre y madre son los progenitores de un hijo». En esta relación habrá una terna de personas: el padre Daniel, la madre María y la hija Carmen. En matemáticas podríamos inventar una relación con tres elementos así: la suma de los dos primeros números es igual al tercer número. Por ejemplo, estos números, en este orden, están en esta relación: 3, 4, 7, porque 3 + 4 = 7. Estos números no están en la relación: 3, 5, 12, porque 3 + 5 ≠ 12.

Aridad de una relación

La aridad es un término de sonido extraño, pero que simplemente expresa cuántos elementos tenemos en la relación. En los ejemplos anteriores hemos trabajado con distinto número de elementos. En la relación «ser hombre» nos ha bastado con un elemento, así que podemos decir: «Hugo es un hombre». Nos basta un nombre, un elemento. De una relación así decimos que es unaria.

En el ejemplo siguiente teníamos la relación «menor que». Esta trabajaba con dos números, con dos elementos. Dijimos que el número tres es menor que el cinco. Usamos dos elementos, así que la relación es binaria.

En el último ejemplo usábamos tres elementos en total: la suma de dos números debía ser igual al tercero. Teníamos así los números a, b, c y debía cumplirse a + b = c. Esta relación sería ternaria.

Para aridades mayores podemos usar la notación de relación n-aria. Pero también podemos usarla para aridades menores: podemos escribir una relación binaria como relación 2-aria. Los elementos de la relación se escriben entonces en forma de n-uplas ordenadas. Si tenemos una relación binaria, los escribimos como pares, normalmente con corchetes o con paréntesis angulares. Así que, si queremos escribir que los números tres y cinco están en la relación «menor que», debemos escribir los números como un par: (3, 5), o bien [3, 5]. Ojo: tenemos que respetar el orden, al revés no se cumpliría: (3, 5) ≠ (5, 3), porque el cinco no es menor que el tres.

Un ejemplo familiar

Antes de pasar a las definiciones matemáticas, probemos otro ejemplo típico con una familia. Tomemos estos miembros de una familia:

• Máximo: abuelo paterno;
• José: padre;
• Dolores: madre;
• Sandra: hija;
• Hugo: hijo.

Primero buscamos todos los miembros de la familia que cumplen la relación «ser hombre». Se trata de una relación 1-aria, o sea, unaria. En la relación siempre habrá un solo elemento, un solo miembro de la familia. Ahora tenemos que escribir todos los miembros de la familia que son de sexo masculino. De momento el orden no importa. La relación «ser hombre» contiene, por tanto, estos elementos: {[Máximo], [José], [Hugo]}. Fíjate en que, aunque se trata de una relación unaria, hemos usado corchetes. No es necesario en absoluto, la notación se leería bien también sin ellos, pero por coherencia he dejado los corchetes. El conjunto de todos los elementos de la relación es un conjunto corriente, de ahí las llaves.

Ahora buscamos todos los pares de la relación «padre-hijo». Esta ya es a primera vista una relación binaria, y en el resultado aparecerán pares ordenados de elementos. El conjunto resultante es así: {(José, Hugo), (Máximo, José)}. El padre José es el padre del hijo Hugo, y el abuelo Máximo es el padre del padre José. Fíjate en que el orden importa de verdad: José aparece dos veces, pero una vez en el primer lugar, en la posición de padre, y otra en el segundo lugar, en la posición de hijo.

Probemos otra relación: «progenitor-hijo». Aquí habrá más pares, porque en el primer lugar puede estar cualquiera de los progenitores, tanto el padre como la madre, y en el segundo lugar puede estar cualquiera de los hijos, tanto el hijo como la hija. Hay que tener en cuenta también que el abuelo Máximo es progenitor de José, pero no es progenitor de Dolores. En cambio, José y Dolores son ambos progenitores de Sandra y de Hugo. Sandra y Hugo no son progenitores de nadie, porque solo tienen diecinueve y trece años. En total, los pares ordenados serán estos: {(Máximo, José), (José, Sandra), (José, Hugo), (Dolores, Sandra), (Dolores, Hugo)}. Fíjate en que José y Dolores aparecen dos veces: una como progenitores de la hija Sandra y otra como progenitores de Hugo.

Una última trampa con las relaciones binarias. Tomemos esta relación: «hermano-hermano». Aquí hay que darse cuenta de que en las relaciones importa el orden, así que, si en el resultado de esta relación escribiéramos solo «Sandra-Hugo», estaría mal, porque es un par ordenado completamente distinto de «Hugo-Sandra». Por eso el resultado correcto es: {(Sandra, Hugo), (Hugo, Sandra)}.

Y un ejemplo cortito de relación ternaria: escribe todas las ternas ordenadas de esta relación: «abuelo-padre-hijo». En el enunciado tenemos solo un abuelo y un padre, pero dos descendientes. No basta con escribir solo la variante con Sandra o con Hugo, tenemos que escribir las dos. Sería distinto si al final, en lugar de «hijo», figurara «hijo varón». El resultado correcto es: {(Máximo, José, Sandra), (Máximo, José, Hugo)}.

Definición de relación unaria

Intentemos estudiar las relaciones más sencillas, las unarias. Por relación unaria entendemos un conjunto de elementos. El conjunto {2, 3} puede representar una relación. Por ejemplo, la relación «ser un número primo menor que cinco» o «ser un divisor no trivial del número seis», según nuestra interpretación.

Los lectores más atentos habrán notado que la segunda relación está definida de una forma un poco rara. Dice que la relación debería contener los divisores no triviales del número seis, y en el conjunto resultante tenemos los números 2 y 3. ¿No nos falta alguno? Los números 1 y 6 son divisores triviales, esos no nos interesan. Pero deberían estar también los números negativos, es decir, −2 y −3. El conjunto de todos los divisores no triviales del número 6 es este: {−3, −2, 2, 3}.

Igual que con las funciones especificamos el dominio, en una relación especificamos el conjunto base: el conjunto del que tomamos los elementos de la relación. En los ejemplos anteriores especificamos, por ejemplo, la familia en la que estaba el abuelo Máximo, etc. No elegíamos padres e hijos de todas las familias del mundo. Si como conjunto base especificamos el conjunto de los números naturales, nuestra relación estará bien definida.

Ya podemos pasar a la definición de relación. Si tenemos como conjunto base los números naturales, ¿qué elementos puede contener nuestra relación unaria? De nuevo, solo números naturales. O todos, o solo una parte. Podemos decir, pues, que la relación será un subconjunto del conjunto de los números naturales. En general, si tenemos una relación unaria R y un conjunto base M, se cumple R ⊆ M: la relación R es un subconjunto del conjunto M.

Definición de relación binaria

¿Cómo será para una relación binaria? En una relación binaria, los elementos de la relación R son pares ordenados. Cada elemento del par puede ser de un conjunto distinto. Podemos tener la relación «progenitor-número de hijos». El progenitor se elegirá del conjunto de las personas, por ejemplo, de Europa, y el número de hijos se elegirá del conjunto de los números naturales más el cero.

¿Cómo obtenemos, a partir de dos conjuntos, el conjunto de todos los pares posibles? Mediante el producto cartesiano. Si tenemos los conjuntos A = {a, b, c}, B = {1, 2}, el producto cartesiano nos da:

$$A\times B=\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)\}$$

Es el conjunto de todos los pares posibles que podemos obtener poniendo en el primer lugar un elemento del conjunto A y en el segundo un elemento del conjunto B. Así que, si tenemos una relación binaria R entre los conjuntos A y B, podemos definir esta relación como R ⊆ A × B.

Si mantuviéramos los conjuntos A y B anteriores y definiéramos una relación R entre ellos así: «letra-posición de la letra en el alfabeto», esta relación quedaría así: R = {(a, 1), (b, 2)}. La letra c ya no estará, porque en el producto cartesiano A × B no aparece el par (c, 3).

Definición de relación n-aria

Por último, definimos la relación n-aria general R entre los conjuntos M₁, M₂, …, M_n:

$$R\subseteq M_1\times M_2\times \dots \times M_n$$

Una relación es, por tanto, un subconjunto de n-uplas ordenadas. Un ejemplo de relación binaria puede ser la relación «menor que», o sea, <. Podemos definirla entre algunos conjuntos numéricos, por ejemplo, entre los números naturales. Entonces la relación quedará así:

$$<\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{N}$$

(No te asustes de que el símbolo < esté tan raro a la izquierda. Es solo el nombre de la relación. Podría estar de nuevo ahí la R, donde R representaría la relación menor que.)

En concreto, la relación sería así:

$$\begin{array}{rcl}<=& & (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),\dots \\ & & (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\dots \\ & & (3,4),(3,5),(3,6),(3,7),\dots \\ & & (4,5),(4,6),(4,7),(4,8),\dots \\ & & \dots \\ & & \end{array}$$

Es el conjunto de pares ordenados tales que el número natural del primer lugar es menor que el número natural del segundo lugar.

Notación de las relaciones

Las relaciones suelen nombrarse con letras mayúsculas R, S, etc., o con símbolos consagrados: <, ⊆, =, etc. De las definiciones anteriores se ve que una relación es en realidad un conjunto. Por cierto, casi todo en matemáticas es en realidad un conjunto :-). Por eso, si queremos decir que un elemento r pertenece a la relación R, podemos escribirlo como r ∈ R.

Por ejemplo, podemos escribir (1, 3) ∈ < y significa que el par de números uno y tres pertenece a la relación menor que. En las relaciones binarias nos encontramos a menudo con una notación más agradable, que conoces ya de primaria. En lugar de usar el operador de pertenencia ∈, escribimos simplemente 1 < 3. De manera similar, normalmente no escribimos (5, 5) ∈ =, sino 5 = 5.