Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Resolver el sistema significa hallar los valores que podemos sustituir en lugar de nuestras n incógnitas para que todas las ecuaciones se cumplan.

Definición de sistema de ecuaciones lineales

Seguro que ya te has encontrado con algún sistema sencillo del tipo

$\begin{array}{ccccc} a_{11} x & + & a_{12} y & = & b_{1} \\ a_{21} x & + & a_{22} y & = & b_{2} \end{array}$

donde a₁₁,…,a₂₂, b₁, b₂ son números reales dados y x e y son las incógnitas. Este sistema de ecuaciones puede tener un número distinto de soluciones —ninguna, una o infinitas—, igual que una ecuación lineal normal. En el caso de un sistema de ecuaciones lineales, la cuestión del número de soluciones y de cómo hallarlas es más complicada que en el caso de una simple ecuación lineal.

Definición de sistema de ecuaciones lineales:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & b_{m} \end{array}$

donde a₁₁, …, a_mn, b₁, …, b_m son números reales. Este sistema se llama entonces sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas x₁, …, x_n y coeficientes a₁₁, …, a_mn. Un ejemplo concreto de sistema de ecuaciones lineales podría ser este:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & + & - 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & - 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Pero si algún a_ij es negativo, es costumbre escribirlo de esta forma:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & - & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Aun así, sigue cumpliéndose que a₁₂ = −2 y a₂₄ = −10.

Notación matricial

Este sistema podemos pasarlo a forma matricial. Definimos en total tres matrices: una para los coeficientes, otra para el segundo miembro de las ecuaciones y otra para las propias incógnitas. Las matrices quedarán así:

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}), x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$

La matriz A contiene los coeficientes de las ecuaciones originales y la llamamos «matriz de coeficientes»; la matriz b contiene los segundos miembros de las ecuaciones y la matriz x contiene las incógnitas. Entonces podemos escribir todo el sistema de ecuaciones como una sola ecuación:

$A x = b$

Esta ecuación tiene sentido, porque en el primer miembro tenemos el producto de dos matrices y en el segundo una matriz, y sus dimensiones encajan. Podemos intentar multiplicar el primer miembro. Multiplicamos una matriz de dimensión m × n por una matriz de dimensión n × 1, así que la matriz resultante será de dimensión m × 1: tendrá m filas y una columna. De momento, todo en orden.

Ahora aplicamos el algoritmo clásico de multiplicación de matrices: empezamos con la primera fila de la matriz A y con la primera columna de la matriz x (no hay otra columna). Obtenemos:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n}$

Con esta suma hemos obtenido el primer elemento de la nueva matriz, es decir, el valor b₁. Si lo sustituimos todo en la ecuación, tenemos:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}$

Hemos obtenido exactamente la primera ecuación de nuestro sistema. Del mismo modo continuaríamos con las demás filas. Definimos además la matriz ampliada del sistema, que es la matriz de coeficientes a la que añadimos la matriz b así:

$B = (A ∣ b) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & b_{m} \end{matrix})$

A continuación nos interesará el rango de esta matriz ampliada del sistema. El rango de la matriz de coeficientes original, sin ampliar, lo designaremos rg(A) y el de la ampliada, rg(A ∣ b). ¿Qué relación hay entre estos rangos? Si a la matriz A le añadimos la columna b, pueden darse dos situaciones: si esta nueva columna es combinación lineal de las columnas de la matriz A, el rango no cambia. Si no era combinación lineal, el rango aumentará en uno.

Teorema de Rouché-Frobenius

El rango de la matriz ampliada será importante para nosotros, porque se cumple un teorema fundamental, el teorema de Rouché-Frobenius: El sistema de ecuaciones Ax = b tiene solución si y solo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada del sistema: rg(A) = rg(A ∣ b).

Vamos a demostrar que este teorema se cumple al menos en uno de los sentidos: si x = β es solución de la ecuación Ax = b, entonces rg(A) = rg(A ∣ b). Si estos rangos son iguales, tiene que cumplirse que la columna b es combinación lineal de las columnas de la matriz A. Lo vamos a desarrollar. La matriz β tiene la forma:

$β = (\begin{matrix} β_{1} \\ β_{2} \\ ⋮ \\ β_{n} \end{matrix})$

Y afirmamos que, si sustituimos x₁ por β₁, etcétera, todas las ecuaciones del sistema serán ciertas:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} β_{1} & + & a_{12} β_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} β_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} β_{1} & + & a_{22} β_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} β_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} & + & a_{m 2} β_{2} & + & \dots & + & a_{m n} β_{n} & = & b_{m} \end{array}$

Ahora reescribimos un poco las ecuaciones. Si nos fijamos en la primera columna, vemos que siempre aparecen los valores a₁₁, a₂₁, …, a_m1, que multiplicamos por el mismo valor β₁. Si separamos la columna en una matriz aparte, podemos sacar como factor común el valor β₁ delante de la matriz, con lo que obtenemos:

$(\begin{matrix} a_{11} β_{1} \\ a_{21} β_{1} \\ ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} \end{matrix}) = β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix})$

Ahora podemos reescribir así todo el sistema:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

Para que esta ecuación se cumpla, la matriz del segundo miembro tiene que ser combinación lineal de las matrices columna del primer miembro, y los valores β₁, …, β_n tienen que ser sus coeficientes.

Con esto hemos demostrado que, si la matriz β ha de ser solución del sistema de ecuaciones, entonces el segundo miembro del sistema, la matriz b, tiene que ser combinación lineal de las columnas de la matriz de coeficientes. Y si la columna de la matriz b es combinación lineal de las columnas de la matriz A, la matriz A tiene que tener el mismo rango que la matriz (A ∣ b).

Además, si rg(A) = rg(A ∣ b) = k y k es igual al número de incógnitas, es decir, k = n, el sistema tiene exactamente una solución. Si se cumple que k < n, el sistema tiene infinitas soluciones y para escribirlas necesitaremos n − k parámetros.

Transformaciones elementales por filas

De la ecuación anterior se ve además que, si en la matriz (A ∣ b) hacemos transformaciones elementales por filas, la solución del sistema de ecuaciones no cambia. Si sumáramos a la segunda fila la primera, obtendríamos la ecuación:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} + a_{11} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} + a_{12} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} + a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} + b_{1} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

Si desarrollamos la segunda fila, obtenemos:

$β_{1} (a_{21} + a_{11}) + β_{2} (a_{22} + a_{12}) + \dots + β_{n} (a_{2 n} + a_{1 n}) = b_{1} + b_{2}$

Quitamos los paréntesis:

$β_{1} a_{21} + β_{1} a_{11} + β_{2} a_{22} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{2 n} + β_{n} a_{1 n} = b_{1} + b_{2}$

Ahora lo reordenamos un poco:

$(β_{1} a_{11} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{1 n}) + (β_{1} a_{21} + β_{2} a_{22} + \dots + β_{n} a_{2 n}) = b_{1} + b_{2}$

En el primer paréntesis tenemos en realidad la primera fila y en el segundo paréntesis, la segunda fila original. Sabemos que la primera fila es igual al valor b₁ y la segunda fila es igual al valor b₂. Eso lo sabemos por las ecuaciones originales. Así que en lugar del primer paréntesis podemos escribir b₁ y en lugar del segundo, b₂:

$b_{1} + b_{2} = b_{1} + b_{2} .$

Del mismo modo, podemos multiplicar una fila entera por una constante c ≠ 0 sin que cambie la validez del sistema de ecuaciones. Pero ojo: no podemos hacer transformaciones por columnas.

Sistema con una única solución

Con un ejemplo vamos a ver cómo resolver un sistema que tiene exactamente una solución. Tenemos este sistema de ecuaciones:

$\begin{array}{ccccccc} 2 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & 7 x_{3} & = & 47 \\ 3 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & x_{3} & = & 50 \\ 3 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 27 \end{array}$

La matriz A tendrá este aspecto:

$A = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix})$

Ahora calculamos el rango de esta matriz:

$(\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 6 & 16 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 7 & - 19 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 21 & 21 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 0 & 78 \end{matrix})$

Vemos que rg(A) = 3. De ahí se deduce también que rg(A ∣ b) = 3, porque una matriz de dimensión 3 × 4 puede tener como máximo rango tres. El sistema tiene tres incógnitas, así que el sistema entero tiene exactamente una solución. ¿Cómo la encontramos?

Método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar la matriz ampliada del sistema en una forma escalonada. Al llevar la matriz a la forma escalonada, podremos averiguar el valor de una incógnita. Una vez que hallamos el valor de una incógnita, podemos empezar a sustituir ese valor en las demás ecuaciones.

La matriz (A ∣ b) tiene esta forma:

$(A ∣ b) = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{matrix})$

La llevamos a la forma escalonada. Haremos las mismas transformaciones que en el paso anterior, solo que esta vez las aplicaremos también a la cuarta columna:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 6 & 16 & 2 & 100 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 7 & - 19 & - 41 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 21 & 21 & 189 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 0 & 78 & 312 \end{array}) \end{array}$

Como hemos hecho transformaciones elementales por filas, esta matriz describe un sistema de ecuaciones equivalente, es decir, un sistema que tiene el mismo conjunto de soluciones. Reescribimos el sistema de la notación matricial a la habitual, usando los coeficientes de nuestra última matriz:

$\begin{array}{ccccccc} 6 x_{1} & + & 9 x_{2} & + & 21 x_{3} & = & 141 \\ 21 x_{2} & - & 57 x_{3} & = & - 123 \\ 78 x_{3} & = & 312 \end{array}$

Ahora partimos de la última ecuación. Nos dice que 78x₃ = 312. ¿Qué valor debe tener x₃? Es una ecuación lineal sencilla, así que

$\begin{array}{rcl} 78 x_{3} & = & 312 \\ x_{3} & = & \frac{312}{78} \\ x_{3} & = & 4 \end{array}$

Ya tenemos el valor de la primera incógnita, x₃. Sustituimos este valor en la segunda ecuación. Obtenemos la ecuación:

$\begin{array}{rcl} 21 x_{2} - 57 x_{3} & = & - 123 \\ 21 x_{2} - 57 \cdot 4 & = & - 123 \\ 21 x_{2} & = & - 123 + 228 \\ 21 x_{2} & = & 105 \\ x_{2} & = & \frac{105}{21} \\ x_{2} & = & 5 \end{array}$

Y por último sustituimos los dos valores calculados en la primera ecuación:

$\begin{array}{rcl} 6 x_{1} + 9 x_{2} + 21 x_{3} & = & 141 \\ 6 x_{1} + 9 \cdot 5 + 21 \cdot 4 & = & 141 \\ 6 x_{1} + 45 + 84 & = & 141 \\ 6 x_{1} & = & 12 \\ x_{1} & = & 2 \end{array}$

El valor de la incógnita x₁ es igual a dos. En este momento ya tenemos la solución completa. Podemos escribir que x = (x₁, x₂, x₃) = (2, 5, 4). Como ves, el método de Gauss es sencillo pero eficaz para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Infinitas soluciones

Si rg(A) = rg(A ∣ b) = k y k es menor que el número de incógnitas, k < n, el sistema tiene infinitas soluciones. Tomemos un ejemplo sencillo:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 12 x_{1} & + & 3 x_{2} & = & 15 \end{array}$

Vemos que la segunda ecuación es igual al triple de la primera. Si multiplicamos la primera ecuación por menos tres y la sumamos a la segunda fila, obtenemos:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 0 x_{1} & + & 0 x_{2} & = & 0 \end{array}$

En este momento el número de incógnitas es dos, n = 2, el rango de la matriz de coeficientes es uno, rg(A) = 1, y el rango de la matriz ampliada también es uno, rg(A ∣ b) = 1. Se cumple que k < n, así que el sistema tiene infinitas soluciones. ¿Cómo hallamos esas soluciones?

Miramos las ecuaciones. La segunda ecuación se cumple para todos los x₁, x₂, así que solo nos interesa la primera. En realidad, todos los pares x₁, x₂ que cumplen la primera ecuación formarán el conjunto de todas las soluciones del sistema de ecuaciones dado. Así que calculamos la solución de la ecuación 4x₁ + x₂ = 5. Transformamos la ecuación hasta dejarla en la forma x₂ = 5 − 4x₁.

Ahora nos ayudaremos de un parámetro. Elegimos un parámetro t. Intentaremos expresar el par x₁, x₂ mediante el parámetro t de modo que podamos escribir que, por ejemplo, todos los pares de la forma (t, t + 2) son solución del sistema. Es decir, pares como (1, 3) o (14, 16). La idea es expresar el valor de una incógnita mediante otra, de modo que sepamos que, cuando el valor de x₁ sea tal o cual, el valor de x₂ será, por ejemplo, tres veces mayor. Como punto de partida elegimos x₁.

Establecemos así la igualdad t = x₁. Si la incógnita x₁ tiene el valor t, ¿qué valor tendrá la incógnita x₂? Lo vemos en la ecuación anterior: tendrá el valor x₂ = 5 − 4x₁. Es decir, si x₁ = t, entonces x₂ = 5 − 4t. Podemos escribir, pues, que todos los pares de la forma (t, 5 − 4t) son solución del sistema de ecuaciones.

Podemos comprobarlo. Si sustituimos t por uno, tenemos: x₁ = 1 y x₂ = 5 − 4 · 1 = 1. Sustituimos estos valores en la ecuación: 4 · 1 + 1 = 5, la ecuación se cumple.

Si sustituimos t por cinco, tenemos: x₁ = 5, x₂ = 5 − 4 · 5 = −15. Al sustituir en la ecuación tenemos: 4 · 5 − 15 = 5. Se cumple.

Solución general y particular

La solución de un sistema de ecuaciones que está escrita mediante parámetros se llama solución general. Una solución concreta, es decir, la que obtenemos al sustituir los parámetros por números concretos, se llama solución particular.

Así que, en el ejemplo anterior, (x₁, x₂) = (t, 5 − 4t) es la solución general del sistema de ecuaciones, y (1, 1) y (5, −15) son soluciones particulares.

Si tenemos la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada del sistema (A ∣ b) y sus rangos son iguales, rg(A) = rg(A ∣ b) = k, entonces para expresar la solución general necesitamos n − k parámetros. Fíjate en que, si n = k, necesitamos cero parámetros. Es el caso en que el sistema tiene exactamente una solución: entonces no hace falta ningún parámetro.

Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & - & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Primero calculamos el rango de las matrices A y (A ∣ b). Llevamos la matriz ampliada a la forma escalonada, de donde sacaremos el rango de las dos matrices. Manos a la obra. (Multiplicamos la primera fila por dos, luego sumamos la primera y la segunda fila y restamos este resultado de la tercera fila. Después restamos la primera fila de la segunda y, por último, dividimos la primera fila otra vez entre dos.)

$\begin{array}{rcl} (A ∣ b) = (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

De esta última matriz ya vemos que rg(A) = rg(A ∣ b) = k = 2. El número de incógnitas es n = 4, así que necesitaremos n − k = 2 parámetros. Escribimos las ecuaciones según la última matriz:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ - x_{1} & - & 6 x_{3} & = & 0 \end{array}$

De la segunda ecuación obtenemos

$\begin{array}{rcl} - x_{1} - 6 x_{3} & = & 0 \\ - x_{1} & = & 6 x_{3} \\ x_{1} & = & - 6 x_{3} \end{array}$

Elegimos el primer parámetro, t = x₃. Entonces podemos escribir que x₁ = −6t. Esto podemos sustituirlo en la primera ecuación:

$\begin{array}{rcl} 3 (- 6 t) - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 18 t - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 14 t - 2 x_{2} + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 2 x_{2} & = & 1 + 14 t - 5 x_{4} \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} x_{4} \end{array}$

Metemos en juego el segundo parámetro, s = x₄. Entonces podemos escribir que

$x_{2} = - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s$

Así obtenemos la solución general del sistema:

$(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (- 6 t, - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s, t, s)$

Podemos probar algunas soluciones particulares. Por ejemplo, s = t = 0. Entonces obtenemos: $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (0, - \frac{1}{2}, 0, 0)$ . Al sustituir en las ecuaciones originales:

obtenemos las ecuaciones:

$\begin{array}{ccccccccc} 0 & - & 2 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 1 \\ 0 & - & 4 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 2 \\ 0 & - & 8 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 4 \end{array}$

Tras eliminar los elementos nulos y multiplicar las fracciones obtenemos:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Probamos otra solución particular: s = 2, t = 1. Entonces obtenemos:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & - 6 \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 + 5 = - \frac{5}{2} \\ x_{3} & = & 1 \\ x_{4} & = & 2 \end{array}$

Sustituimos en las ecuaciones:

$\begin{array}{ccccccccc} - 18 & - & 2 (- \frac{5}{2}) & + & 4 & + & 10 & = & 1 \\ - 30 & - & 4 (- \frac{5}{2}) & + & 2 & + & 20 & = & 2 \\ - 66 & - & 8 (- \frac{5}{2}) & + & 10 & + & 40 & = & 4 \end{array}$

Simplificamos:

$\begin{array}{ccccccccc} - 4 & + & 5 & = & 1 \\ - 8 & + & 10 & = & 2 \\ - 16 & + & 20 & = & 4 \end{array}$

Y por último obtenemos:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Parece que la solución general que hemos obtenido es correcta.

Capítulos: Sistemas de ecuaciones lineales, Regla de Cramer, Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales

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