Cuerpos

Para entender la explicación que sigue no necesitas ninguna destreza ni conocimiento matemático especial. Basta con dominar los fundamentos de las matemáticas de secundaria y tener ganas de aprender algo nuevo.

El coco llamado cuerpo algebraico

Si el simple nombre de cuerpo algebraico ya te da miedo, ten por seguro que no hay nada que temer. Un cuerpo es en realidad algo muy sencillo si lo miramos desde el ángulo correcto.

Un cuerpo algebraico es cualquier conjunto más dos operaciones binarias que cumplen ciertas condiciones. Eso es todo. Ni más ni menos. Como ves, nada peligroso ni espeluznante. Y en cuanto lo sabemos, podemos acercarnos ya sin miedo y mirar un poco más de cerca.

El conjunto de elementos del cuerpo

Llamaremos T a nuestro conjunto cualquiera y a sus elementos los llamaremos elementos del cuerpo. Créeme: el conjunto de elementos del cuerpo puede ser absolutamente cualquiera. Puede ser el conjunto de todos los números pares, el conjunto de todos los calcetines a los que les falta la pareja o, por ejemplo, tu colección de elefantes de peluche. Quizá la única condición es que el conjunto T no esté vacío. Si no, no nos divertiríamos mucho.

Operación binaria

Si no tienes claro enseguida qué es una operación binaria, puedes imaginarla como un pequeño molinillo. Metes en él dos elementos (de ahí lo de binaria) de un conjunto, giras suavemente la manivela y te sale otro elemento de tu conjunto. Una buena operación binaria es, por ejemplo, la división. ¿Quieres saber cuánto es 10 / 5? Toma la operación binaria división (el molinillo), donde tu conjunto será el de los números reales. Echa primero el diez en el molinillo y después el cinco, gira la manivela y, ¡oh sorpresa!, sale el dos.

Nosotros llamaremos a nuestras dos operaciones suma y multiplicación y las escribiremos ⊕ y ⊗. No te dejes engañar por el nombre. Estas operaciones no tienen por qué tener mucho que ver con la suma y la multiplicación que usamos normalmente. Y es precisamente porque los elementos del cuerpo pueden ser objetos cualesquiera. Con los elefantes de peluche o los calcetines, la suma y la multiplicación «de siempre» no se pueden usar.

Operaciones en el cuerpo

Las operaciones ⊕ y ⊗ tienen que cumplir ciertas condiciones. No podemos definirlas de cualquier manera. El sentido de introducir estas operaciones es generalizar la suma y la multiplicación corrientes, las que usamos con los números. Queremos poder definirlas de modo que se puedan aplicar a los elementos del cuerpo que, como ya sabemos, pueden ser objetos completamente cualesquiera, no solo números. Aun así, queremos que las operaciones ⊕ y ⊗ conserven un sentido básico de suma y de multiplicación. Para lograrlo introducimos diez condiciones que estas operaciones deben cumplir para que nuestra estructura sea un cuerpo. A estas condiciones las llamaremos axiomas del cuerpo. Aquí están:

1. Propiedad conmutativa de la suma: para dos elementos cualesquiera a, b del cuerpo T debe cumplirse a ⊕ b = b ⊕ a.

• Propiedad asociativa de la suma: para tres elementos cualesquiera a, b, c del cuerpo T debe cumplirse (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c).
• Existencia del elemento nulo: debe existir un elemento del cuerpo T, lo llamaremos 0 (ojo, no confundir con el número 0), con la propiedad de que para cualquier elemento a del cuerpo T se cumple a ⊕ 0 = a.
• Existencia del elemento opuesto: para cada elemento a del cuerpo T debe existir un elemento del cuerpo T, lo llamaremos -a, con la propiedad de que se cumple a ⊕ −a = 0.
• Propiedad conmutativa de la multiplicación: para dos elementos cualesquiera a, b del cuerpo T debe cumplirse a ⊗ b = b ⊗ a.
• Propiedad asociativa de la multiplicación: para tres elementos cualesquiera a, b, c del cuerpo T debe cumplirse (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c).
• Existencia del elemento unidad: debe existir un elemento del cuerpo T, lo llamaremos 1 (ojo, no confundir con el número 1), con la propiedad de que para cualquier elemento a del cuerpo T se cumple a ⊗ 1 = a.
• Existencia del elemento inverso: para cada elemento a del cuerpo T distinto de 0 debe existir un elemento del cuerpo T, lo llamaremos a⁻¹, con la propiedad de que se cumple a ⊗ a⁻¹ = 1.
• Propiedad distributiva: para tres elementos cualesquiera a, b, c del cuerpo T debe cumplirse a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c).
• No trivialidad: el elemento nulo y el elemento unidad no pueden ser el mismo. Es decir, 0 ≠ 1.

Para quien quiera practicar el formalismo matemático, aquí he escrito los axiomas del cuerpo tal como se escriben en la jerga matemática.

1. ∀a,b ∈ T   a ⊕ b = b ⊕ a

• ∀a,b,c ∈ T   (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
• ∃0 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊕ 0 = a
• ∀a ∈ T   ∃−a ∈ T   a ⊕ −a = 0
• ∀a,b ∈ T   a ⊗ b = b ⊗ a
• ∀a,b,c ∈ T   (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)
• ∃1 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊗ 1 = a
• ∀a ∈ T   ∃a⁻¹ ∈ T, a ≠ 0   a ⊗ a⁻¹ = 1
• ∀a,b,c ∈ T   a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
• 0 ≠ 1

Quizá estés pensando ahora que son axiomas terriblemente numerosos. Pero todos se entienden fácilmente si nos damos cuenta de lo que significan. Los cuatro primeros describen las propiedades habituales de la suma y los otros cuatro las propiedades habituales de la multiplicación, que además se parecen mucho a los cuatro primeros. El noveno axioma dice cómo se relacionan entre sí la suma y la multiplicación. Solo el décimo es una cuestión más bien técnica, que garantiza que el cuerpo no pueda tener propiedades extrañas.

Fíjate en lo bien que hemos evitado introducir la resta y la división. Estas operaciones se definen mediante la suma del elemento opuesto y la multiplicación por el elemento inverso. Así, por ejemplo, 4 − 2 es solo una abreviatura de 4 + (−2) y 4 / 2 es solo una abreviatura de 4 · 2⁻¹.

Un desfile de cuerpos

Ya tenemos formalmente definido el concepto de cuerpo algebraico. Si quisiéramos expresar de forma intuitiva qué es en realidad un cuerpo, podríamos decir que es una estructura que nos permite sumar, restar, multiplicar y dividir objetos cualesquiera en los que sepamos definir estas operaciones, y hacerlo de un modo parecido a como realizamos estas operaciones en la aritmética elemental.

Nuestro primer cuerpo

Ya que hemos inventado y descrito tan bien los cuerpos, vamos a construir uno de verdad. Primero elegimos el conjunto de elementos del cuerpo. Por ahora no experimentaremos demasiado con elefantes de peluche ni calcetines y elegiremos como elementos del cuerpo números naturales. Para que todo sea realmente sencillo, tomaremos solo los números 0, 1, 2, 3, 4. Es decir, nuestro conjunto T tendrá este aspecto:

$$T=\{0,1,2,3,4\}$$

Ahora solo falta definir hábilmente las operaciones ⊕ y ⊗. Aquí nos ayudaremos de la suma y la multiplicación que ya conocemos de la aritmética. Pero las modificaremos un poco para que funcionen también en nuestro cuerpo.

• Operación ⊕ La suma de dos elementos a ⊕ b la realizamos calculando el resto de dividir entre cinco la suma a + b. Las sumas en nuestro cuerpo se verán, pues, así: 1 ⊕ 1 = 2    1 ⊕ 3 = 4    2 ⊕ 3 = 0    4 ⊕ 2 = 1, etc.
• Operación ⊗ El producto de dos elementos a ⊗ b lo realizamos calculando el resto de dividir entre cinco el producto ab. Las multiplicaciones en nuestro cuerpo se verán, pues, así: 1 ⊗ 1 = 1    2 ⊗ 2 = 4    2 ⊗ 3 = 1    4 ⊗ 2 = 3    etc.

Y ya está. Ahora ya tenemos fabricado un cuerpo hecho y derecho. Aún habría que comprobar que se cumplen todos los axiomas, para estar seguros de que hemos fabricado de verdad un cuerpo y no un engendro.

• La propiedad conmutativa y la asociativa de la suma y de la multiplicación seguro que puedes comprobarlas tú mismo, y lo mismo vale para la propiedad distributiva.
• De cómo hemos definido la suma y la multiplicación se deduce también que existe un elemento nulo (en nuestro caso resulta ser justo el número 0) y un elemento unidad (en nuestro caso el 1), que además son distintos entre sí.
• Ahora solo nos queda comprobar la existencia del elemento opuesto y del inverso. Todos vemos claramente que para cada número del conjunto {0, 1, 2, 3, 4} existe algún número del mismo conjunto tal que el resultado de su suma es cero o cinco (es decir, en nuestro cuerpo, 0).
• De manera análoga ocurre con la multiplicación: para cada número no nulo de este conjunto existe un número con el que el producto da resto 1 al dividirlo entre cinco (es decir, en nuestro cuerpo, 1). Por ejemplo, el número 4 tiene como elemento inverso el 4, porque 4 · 4 = 16 y al dividir entre 5 el resto es 1. ¡Intenta encontrar los demás elementos inversos!

Ejemplos de otros cuerpos

Hace un momento hemos fabricado un cuerpo que tiene cinco elementos. Resulta que de la misma manera se pueden fabricar otros cuerpos cuyo número de elementos sea un número primo. A estos cuerpos se les llama cuerpos de clases de restos y se designan Z_p, donde p es el número de elementos del cuerpo. Se usan muy a menudo, tanto en matemáticas e informática como, por supuesto, en los más variados ejercicios de examen.

¿Se pueden fabricar cuerpos con un número de elementos que no sea primo? Sí, pero ya no de la manera que acabo de mostrar. ¿Por qué? Imagina un cuerpo fabricado con el procedimiento descrito arriba que tenga solo cuatro elementos. En ese cuerpo se cumple 2 ⊗ 2 = 0. Es decir, el producto de dos números no nulos es cero. Eso no puede ocurrir en un cuerpo. No está prohibido directamente en los axiomas del cuerpo, pero se deduce de ellos con bastante facilidad. Sin embargo, resulta que si en lugar de números usamos polinomios como elementos del cuerpo, se pueden fabricar también cuerpos cuyo número de elementos sea una potencia de un número primo. Por tanto, existe un cuerpo de cuatro elementos, porque cuatro es una potencia de dos.

Por supuesto, también son posibles cuerpos con un número infinito de elementos. Así, por ejemplo, el conjunto de los números reales junto con nuestras operaciones habituales de suma y multiplicación también forma un cuerpo. Y eso no vale solo para los números reales, sino también para los racionales y los complejos. Los números naturales y los enteros no forman un cuerpo, porque en ellos faltan los elementos opuestos y los inversos, respectivamente.

Y lo mejor para el final. Naturalmente, nadie nos impone que los cuerpos estén formados por números, polinomios ni siquiera por objetos matemáticos. Como ya he dicho, puedes fabricar un cuerpo de calcetines, de elefantes de peluche, etc. El único problema será quizá cómo definir la suma y la multiplicación con elefantes. Lo curioso aquí es que nunca lograrás fabricar un cuerpo que contenga seis calcetines. Porque el seis no es ni un número primo ni una potencia de un número primo. Pero puedes fabricar sin problema un cuerpo que conste de diecisiete calcetines, numerar cada uno de ellos (el calcetín blanco será el 0, el negro el 1, el verde el 2, etc.) y sumarlos después igual que hemos sumado nosotros en el cuerpo de clases de restos.

¿Y para qué sirve todo esto?

Si has leído hasta aquí, quizá te preguntes para qué demonios necesitamos una estructura tan disparatada como el cuerpo algebraico. Pues bien, los cuerpos son muy importantes, tanto desde el punto de vista teórico, porque describen y sobre todo generalizan lo que podría llamarse calcular, es decir, la aritmética, como desde el punto de vista práctico, porque muchos problemas matemáticos o informáticos se resuelven más fácilmente si los imaginamos como cálculos en cuerpos. Los cuerpos finitos tienen, por ejemplo, gran importancia en los códigos de los CD o DVD. Por lo demás, en lo que respecta al álgebra lineal, los cuerpos son la piedra angular de otras estructuras más complejas y, por tanto, mucho más útiles e interesantes, como los espacios vectoriales. Estos forman, en efecto, una especie de base de toda el álgebra lineal.

El autor de este artículo es Lishaak.