Relasi biner pada himpunan

Relasi biner pada himpunan adalah relasi biner yang didefinisikan antara dua himpunan yang sama.

Contoh

Relasi biner pada himpunan adalah jenis relasi biner khusus yang kedua himpunan dasarnya sama. Jadi, relasi biner pada himpunan adalah relasi R yang memenuhi R ⊆ M × M.

Relasi “lebih dari” adalah relasi biner pada himpunan, karena di kedua sisi kita bekerja dengan bilangan. Jadi, berlaku > ⊆ ℝ × ℝ. Relasi “ayah — banyak anak” bukan relasi biner pada himpunan, karena ayah dipilih dari himpunan semua manusia, sedangkan banyak anak dipilih dari suatu himpunan bilangan.

Sifat-sifat

Relasi biner R pada himpunan M dapat memiliki beberapa sifat yang menarik. Relasi R disebut…

• refleksif jika untuk semua a ∈ M berlaku (a, a) ∈ R.
• simetris jika untuk semua a, b ∈ M berlaku: jika (a, b) ∈ R, maka juga (b, a) ∈ R.
• antisimetris jika untuk semua a, b ∈ M berlaku: jika (a, b) ∈ R dan juga (b, a) ∈ R, maka a = b.
• transitif jika untuk semua a, b, c ∈ M berlaku: jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) juga berada dalam R.

Contoh sifat refleksif

Sifat refleksif berarti setiap elemen berelasi dengan dirinya sendiri. Contoh khasnya adalah relasi sama dengan. Jika relasi sama dengan didefinisikan pada bilangan asli, tentu untuk sembarang elemen a berlaku a = a. Contoh lain adalah relasi habis membagi. Di sini juga berlaku bahwa bilangan a habis dibagi dirinya sendiri, sehingga pasangan (a, a) berada dalam relasi habis membagi (tujuh habis membagi tujuh).

Namun, relasi kurang dari tidak refleksif, karena tidak berlaku a < a. Hal itu tidak mungkin: tujuh tidak mungkin kurang dari tujuh. Begitu pula relasi menjadi ayah dari anaknya — saya tidak mungkin menjadi ayah saya sendiri. Relasi-relasi seperti ini tidak refleksif.

Yang penting, sifat refleksif harus berlaku untuk semua elemen; tidak cukup jika hanya berlaku untuk sebagian. Misalnya, relasi “menyukai seseorang”. Saya bisa menyukai orang lain, misalnya petugas pemeriksa tiket, tetapi saya juga bisa menyukai diri sendiri. Tentu ada orang yang menyukai dirinya sendiri. Namun, tentu ada juga orang yang tidak menyukai dirinya sendiri. Karena itu, relasi ini tidak refleksif — agar refleksif, semua orang harus menyukai dirinya sendiri.

Contoh sifat simetris

Pada relasi simetris berlaku: jika suatu pasangan berada dalam relasi, pasangan inversnya juga berada dalam relasi. Contohnya relasi menjadi saudara kandung. Jika Andi saudara kandung Siti, Siti juga saudara kandung Andi. Di antara relasi pada bilangan, contohnya adalah relasi “merupakan lawan bilangan”. Yang dimaksud adalah pasangan seperti 2 dan −2 atau −7 dan 7, yaitu dua bilangan yang jumlahnya nol. Relasi ini simetris, karena urutannya memang tidak penting: (2, −2) dan (−2, 2) tetap merupakan dua bilangan yang saling berlawanan dan jumlahnya nol.

Contoh relasi yang tidak simetris adalah relasi kurang dari (pada bilangan real). Relasi ini sama sekali tidak memiliki pasangan yang simetris, karena tidak mungkin berlaku a < b dan sekaligus b < a. Jika 5 < 15, tidak mungkin berlaku 15 < 5. Relasi “menjadi ayah dari anak laki-lakinya” juga tidak simetris. Kamu bisa menjadi ayah dari anak laki-lakimu, tetapi anak itu tidak mungkin menjadi ayah dari ayahnya.

Sifat ini juga harus berlaku dalam semua kasus. Agar relasi “menyukai seseorang” (pada himpunan semua manusia) simetris, setiap kali saya menyukai seorang artis terkenal, artis itu juga harus menyukai saya. Karena ia bahkan tidak mengenal saya, saya tidak bisa mengatakan bahwa ia menyukai saya. Sayang sekali, dan relasinya pun tidak simetris. Itu juga sayang sekali.

Contoh sifat antisimetris

Contoh klasik relasi antisimetris adalah relasi kurang dari atau sama dengan. Sifat antisimetris menyatakan bahwa jika elemen (a, b) dan (b, a) berada dalam relasi, hal itu hanya mungkin jika keduanya sama, a = b. Relasi kurang dari atau sama dengan memenuhi sifat ini. Kapan berlaku a ≤ b dan sekaligus b ≤ a? Hanya jika a = b. Mari kita substitusikan bilangan: apakah berlaku 3 ≤ 5 dan sekaligus 5 ≤ 3? Tidak. Namun, berlaku 4 ≤ 4 dan sekaligus 4 ≤ 4.

Contoh relasi yang tidak antisimetris adalah pasangan kata yang panjangnya sama, misalnya (sabtu, kapak). Relasi ini tidak antisimetris, karena kita bisa menemukan pasangan kata yang berada dalam relasi, inversnya juga berada dalam relasi, tetapi kedua katanya berbeda. Misalnya, elemen yang sudah disebut (sabtu, kapak) dan inversnya: (kapak, sabtu). Keduanya jelas berada dalam relasi kita, tetapi sabtu ≠ kapak, sehingga relasinya tidak antisimetris.

Contoh sifat transitif

Relasi kurang dari bersifat transitif. Sifat transitif menyatakan bahwa jika 3 < 4 dan 4 < 5, tentu harus berlaku juga 3 < 5. Bagi banyak relasi, sifat ini cukup alami. Hal yang sama berlaku untuk contoh kata-kata yang panjangnya sama. Jika (kapak, sabtu) berada dalam relasi dan (sabtu, balok) juga berada dalam relasi, maka kata-kata (kapak, balok) juga berada dalam relasi.

Relasi menjadi ayah dari anak laki-laki tidak transitif. Jika Agus ayah Budi dan Budi ayah Rizky, Agus bukan ayah Rizky, melainkan kakeknya. Begitu pula relasi menyukai seseorang tidak transitif. Jika saya menyukai artis tadi dan artis itu menyukai suaminya, tidak berarti saya juga menyukai suami artis tersebut.

Sifat transitif juga dibahas pada dadu biasa. Misalkan ada relasi: dadu A lebih baik daripada dadu B jika dadu A lebih sering (dengan peluang lebih besar) memunculkan mata dadu yang lebih tinggi daripada dadu B. Apakah relasi ini transitif? Jawabannya ada di artikel dadu nontransitif.

Relasi ekuivalensi dan relasi urutan

Beberapa jenis relasi biner khusus memiliki nama sendiri:

• Relasi ekuivalensi adalah relasi yang refleksif, simetris, dan transitif.
• Relasi urutan adalah relasi yang refleksif, antisimetris, dan transitif.