✖

Lapangan (struktur aljabar)

Untuk memahami penjelasan berikut, kamu tidak memerlukan keterampilan atau pengetahuan matematika khusus. Cukup pahami dasar-dasar matematika SMA dan miliki keinginan untuk mempelajari hal baru.

Lapangan: momok yang tidak menakutkan

Jika nama “lapangan” dalam aljabar sudah membuatmu takut, ketahuilah bahwa sebenarnya tidak ada yang perlu ditakuti. Jika dilihat dari sudut pandang yang tepat, lapangan adalah hal yang sangat sederhana.

Lapangan (dalam bahasa Inggris field) adalah sembarang himpunan ditambah dua operasi biner yang memenuhi syarat-syarat tertentu. Itu saja. Tidak lebih dan tidak kurang. Seperti yang kamu lihat, sama sekali tidak ada yang berbahaya atau menyeramkan. Setelah mengetahui hal ini, kita bisa melihatnya sedikit lebih dekat tanpa rasa takut.

Himpunan elemen lapangan

Himpunan sembarang kita beri lambang T, dan anggota-anggotanya kita sebut elemen lapangan. Percayalah, himpunan elemen lapangan boleh benar-benar sembarang. Himpunan itu bisa berupa himpunan semua bilangan genap, himpunan semua kaus kaki yang pasangannya sudah hilang, atau koleksi boneka gajahmu. Satu-satunya syarat adalah himpunan T tidak boleh kosong. Kalau kosong, tentu tidak ada yang menarik untuk dibahas.

Operasi biner

Jika belum jelas apa sebenarnya operasi biner, bayangkan sebuah gilingan kecil. Kamu memasukkan dua elemen suatu himpunan (dari sinilah kata “biner” dalam namanya), memutar engkolnya sedikit, lalu keluarlah elemen lain dari himpunan yang sama. Contoh operasi biner yang bagus adalah pembagian. Ingin tahu berapa 10 / 5? Ambillah operasi biner pembagian (gilingan) dengan himpunan bilangan real sebagai himpunannya. Masukkan dulu angka sepuluh, lalu angka lima, putar engkolnya, dan ajaib, keluarlah angka dua.

Kedua operasi kita beri nama penjumlahan dan perkalian, dan kita tulis dengan lambang ⊕ dan ⊗. Jangan terkecoh oleh namanya. Operasi-operasi ini belum tentu banyak kesamaannya dengan penjumlahan dan perkalian yang biasa kita gunakan. Sebabnya, elemen lapangan bisa berupa objek apa saja. Penjumlahan dan perkalian yang biasa tentu tidak bisa diterapkan pada boneka gajah atau kaus kaki.

Operasi pada lapangan

Operasi ⊕ dan ⊗ harus memenuhi syarat-syarat tertentu. Kita tidak bisa mendefinisikannya secara sembarangan. Tujuan operasi-operasi ini adalah memperumum penjumlahan dan perkalian biasa yang kita gunakan pada bilangan. Kita ingin operasi-operasi ini dapat didefinisikan sedemikian rupa sehingga bisa diterapkan pada elemen lapangan, yang seperti sudah kita ketahui bisa berupa objek apa saja, bukan hanya bilangan. Namun, kita tetap ingin operasi ⊕ dan ⊗ mempertahankan makna dasar penjumlahan dan perkalian. Karena itu, kita tetapkan sepuluh syarat yang harus dipenuhi operasi-operasi tersebut agar struktur kita merupakan lapangan. Syarat-syarat ini disebut aksioma lapangan. Berikut aksioma-aksiomanya:

  1. Sifat komutatif penjumlahan — Untuk sembarang dua elemen a, b dari lapangan T harus berlaku a ⊕ b = b ⊕ a.
  • Sifat asosiatif penjumlahan — Untuk sembarang tiga elemen a, b, c dari lapangan T harus berlaku (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c).
  • Adanya elemen nol — Harus ada elemen lapangan T, kita beri lambang 0 (hati-hati, jangan dikacaukan dengan bilangan 0), yang memiliki sifat bahwa untuk sembarang elemen a dari lapangan T berlaku a ⊕ 0 = a.
  • Adanya elemen lawan — Untuk setiap elemen a dari lapangan T harus ada elemen lapangan T, kita beri lambang -a, yang memiliki sifat a ⊕ −a = 0.
  • Sifat komutatif perkalian — Untuk sembarang dua elemen a, b dari lapangan T harus berlaku a ⊗ b = b ⊗ a.
  • Sifat asosiatif perkalian — Untuk sembarang tiga elemen a, b, c dari lapangan T harus berlaku (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c).
  • Adanya elemen satuan - Harus ada elemen lapangan T, kita beri lambang 1 (hati-hati, jangan dikacaukan dengan bilangan 1), yang memiliki sifat bahwa untuk sembarang elemen a dari lapangan T berlaku a ⊗ 1 = a.
  • Adanya elemen invers — Untuk setiap elemen a dari lapangan T yang tidak sama dengan 0 harus ada elemen lapangan T, kita beri lambang a−1, yang memiliki sifat a ⊗ a−1 = 1.
  • Sifat distributif - Untuk sembarang tiga elemen a, b, c dari lapangan T harus berlaku a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c).
  • Nontrivialitas — Elemen nol dan elemen satuan tidak boleh sama. Jadi, 0 ≠ 1

Bagi yang ingin berlatih menggunakan bahasa formal matematika, berikut aksioma lapangan seperti yang biasa ditulis oleh para matematikawan.

  1. ∀a,b ∈ T   a ⊕ b = b ⊕ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
  • ∃0 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊕ 0 = a
  • ∀a ∈ T   ∃−a ∈ T   a ⊕ −a = 0
  • ∀a,b ∈ T   a ⊗ b = b ⊗ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)
  • ∃1 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊗ 1 = a
  • ∀a ∈ T   ∃a−1 ∈ T, a ≠ 0   a ⊗ a−1 = 1
  • ∀a,b,c ∈ T   a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
  • 0 ≠ 1

Mungkin sekarang kamu berpikir bahwa aksiomanya terlalu banyak. Namun, semuanya mudah dipahami jika kita menyadari artinya. Empat aksioma pertama menggambarkan sifat-sifat biasa penjumlahan, dan empat berikutnya sifat-sifat biasa perkalian, yang sangat mirip dengan empat aksioma pertama. Aksioma kesembilan menyatakan hubungan antara penjumlahan dan perkalian. Hanya aksioma kesepuluh yang lebih bersifat teknis: aksioma ini menjamin agar lapangan tidak memiliki sifat-sifat yang aneh.

Perhatikan bagaimana kita berhasil menghindari pendefinisian pengurangan dan pembagian. Kedua operasi ini didefinisikan dengan menambahkan elemen lawan dan mengalikan dengan elemen invers. Jadi, misalnya 4 − 2 hanyalah singkatan dari 4 + (−2), dan 4 / 2 hanyalah singkatan dari 4 · 2−1.

Mengenal lapangan

Sekarang konsep lapangan sudah kita definisikan secara formal. Jika ingin menyatakan secara intuitif apa sebenarnya lapangan itu, kita bisa mengatakan bahwa lapangan adalah suatu struktur yang memungkinkan kita menjumlahkan, mengurangkan, mengalikan, dan membagi sembarang objek yang dapat kita beri operasi-operasi tersebut, dengan cara yang mirip dengan cara kita melakukan operasi-operasi itu dalam aritmetika dasar.

Lapangan pertama kita

Setelah mendefinisikan dan mendeskripsikan lapangan, mari kita bangun sebuah lapangan yang nyata. Pertama, kita pilih himpunan elemen lapangan. Untuk sementara, kita tidak akan bereksperimen dengan boneka gajah atau kaus kaki. Sebagai elemen lapangan, kita pilih bilangan cacah. Agar semuanya benar-benar sederhana, kita ambil hanya bilangan 0, 1, 2, 3, 4. Jadi, himpunan T kita adalah:

T={0,1,2,3,4}

Sekarang tinggal mendefinisikan operasi ⊕ dan ⊗ dengan cerdik. Di sini kita memanfaatkan penjumlahan dan perkalian yang sudah kita kenal dari aritmetika. Namun, keduanya kita ubah sedikit agar dapat bekerja pada lapangan kita.

  • Operasi ⊕ Jumlah dua elemen a ⊕ b kita peroleh dengan menghitung sisa pembagian a + b oleh lima. Jadi, penjumlahan dalam lapangan kita terlihat seperti ini: 1 ⊕ 1 = 2    1 ⊕ 3 = 4    2 ⊕ 3 = 0    4 ⊕ 2 = 1 dan seterusnya.
  • Operasi ⊗ Hasil kali dua elemen a ⊗ b kita peroleh dengan menghitung sisa pembagian ab oleh lima. Jadi, perkalian dalam lapangan kita terlihat seperti ini: 1 ⊗ 1 = 1    2 ⊗ 2 = 4    2 ⊗ 3 = 1    4 ⊗ 2 = 3    dan seterusnya.

Selesai. Sekarang kita sudah memiliki lapangan yang utuh. Namun, sebaiknya kita periksa juga apakah semua aksioma berlaku, supaya kita yakin bahwa yang kita buat memang lapangan dan bukan sesuatu yang asal jadi.

  • Sifat komutatif dan asosiatif penjumlahan dan perkalian, begitu pula sifat distributif, tentu bisa kamu periksa sendiri.
  • Dari cara kita mendefinisikan penjumlahan dan perkalian, terlihat juga bahwa ada elemen nol (dalam kasus kita kebetulan bilangan 0) dan elemen satuan (dalam kasus kita 1), dan keduanya berbeda.
  • Sekarang tinggal memeriksa adanya elemen lawan dan elemen invers. Kita semua tentu melihat bahwa untuk setiap bilangan dari himpunan {0, 1, 2, 3, 4} ada bilangan dari himpunan yang sama sehingga jumlah keduanya sama dengan nol atau lima (yaitu 0 dalam lapangan kita).
  • Hal yang serupa berlaku juga untuk perkalian: untuk setiap bilangan tak nol dari himpunan ini ada bilangan yang hasil kalinya dengan bilangan tersebut bersisa 1 jika dibagi lima (yaitu 1 dalam lapangan kita). Misalnya, bilangan 4 memiliki elemen invers 4, karena 4 · 4 = 16 dan jika dibagi 5 sisanya 1. Cobalah mencari elemen invers yang lain!

Contoh lapangan lainnya

Tadi kita membuat lapangan dengan lima elemen. Ternyata dengan cara yang sama dapat dibuat lapangan lain yang banyak elemennya merupakan bilangan prima. Lapangan seperti ini disebut lapangan bilangan bulat modulo p dan dilambangkan Zp, dengan p banyaknya elemen lapangan. Lapangan ini sangat sering digunakan, baik dalam matematika maupun informatika, dan tentu saja juga dalam berbagai soal ujian.

Apakah bisa dibuat lapangan yang banyak elemennya bukan bilangan prima? Bisa, tetapi tidak dengan cara yang baru saja kita gunakan. Mengapa? Bayangkan lapangan yang dibuat dengan cara di atas dan hanya memiliki empat elemen. Dalam lapangan seperti itu berlaku 2 ⊗ 2 = 0. Artinya, hasil kali dua bilangan tak nol sama dengan nol. Hal ini tidak boleh terjadi dalam lapangan. Memang tidak dilarang secara langsung oleh aksioma lapangan, tetapi cukup mudah disimpulkan dari aksioma-aksioma tersebut. Namun, ternyata jika sebagai elemen lapangan digunakan polinomial, bukan bilangan, dapat dibuat juga lapangan yang banyak elemennya merupakan perpangkatan bilangan prima. Jadi, lapangan dengan empat elemen ada, karena 4 adalah perpangkatan dari 2.

Tentu saja ada juga lapangan dengan tak hingga banyaknya elemen. Misalnya, himpunan bilangan real bersama operasi penjumlahan dan perkalian biasa juga membentuk lapangan. Hal ini tidak hanya berlaku untuk bilangan real, tetapi juga untuk bilangan rasional dan bilangan kompleks. Bilangan asli dan bilangan bulat tidak membentuk lapangan, karena di dalamnya tidak ada elemen lawan atau elemen invers.

Bagian paling menarik kita simpan untuk akhir. Tentu saja tidak ada yang mengharuskan lapangan terdiri atas bilangan, polinomial, atau objek matematika apa pun. Seperti yang sudah disebutkan, kamu bisa membuat lapangan kaus kaki, boneka gajah, dan sebagainya. Satu-satunya masalah mungkin adalah cara mendefinisikan penjumlahan dan perkalian pada gajah. Yang menarik, kamu tidak akan pernah bisa membuat lapangan yang berisi enam kaus kaki, karena 6 bukan bilangan prima dan bukan perpangkatan bilangan prima. Namun, kamu boleh saja membuat lapangan yang terdiri atas tujuh belas kaus kaki. Beri nomor pada setiap kaus kaki (kaus kaki putih 0, hitam 1, hijau 2, dan seterusnya), lalu jumlahkan seperti kita menjumlahkan dalam lapangan bilangan bulat modulo p.

Apa gunanya semua ini?

Jika kamu sudah membaca sampai di sini, mungkin kamu bertanya-tanya, untuk apa kita membutuhkan struktur seaneh lapangan? Lapangan sangat penting, baik dari sisi teori maupun dari sisi praktik. Dari sisi teori, lapangan menggambarkan dan terutama memperumum apa yang biasa disebut berhitung, yaitu aritmetika. Dari sisi praktik, banyak masalah matematika atau informatika lebih mudah diselesaikan jika kita membayangkannya sebagai perhitungan dalam lapangan. Lapangan berhingga, misalnya, sangat penting untuk kode pada cakram CD atau DVD. Dalam aljabar linear sendiri, lapangan merupakan fondasi bagi struktur lain yang lebih rumit, dan karena itu jauh lebih berguna dan menarik, misalnya ruang vektor. Ruang vektor merupakan dasar dari seluruh aljabar linear.

Penulis artikel asli adalah Lishaak.