Διμελής σχέση σε σύνολο

Διμελή σχέση σε σύνολο λέμε τη διμελή σχέση που ορίζεται ανάμεσα σε δύο ίδια σύνολα.

Παραδείγματα

Η διμελής σχέση σε σύνολο είναι ένας ειδικός τύπος διμελούς σχέσης, όπου και τα δύο σύνολα ορισμού είναι ίδια. Η διμελής σχέση σε σύνολο είναι λοιπόν μια σχέση R τέτοια ώστε R ⊆ M × M.

Η σχέση «μεγαλύτερο από» είναι διμελής σχέση σε σύνολο, επειδή και από τις δύο πλευρές δουλεύουμε με αριθμούς. Άρα ισχύει > ⊆ ℝ × ℝ. Η σχέση «πατέρας – αριθμός παιδιών» δεν είναι διμελής σχέση σε σύνολο, επειδή τον πατέρα τον επιλέγουμε από το σύνολο όλων των ανθρώπων, ενώ τον αριθμό των παιδιών από κάποιο σύνολο αριθμών.

Ιδιότητες

Η διμελής σχέση R σε ένα σύνολο M μπορεί να έχει μερικές ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Λέμε ότι η σχέση R είναι…

• ανακλαστική, αν για κάθε a ∈ M ισχύει (a, a) ∈ R.
• συμμετρική, αν για κάθε a, b ∈ M ισχύει: αν (a, b) ∈ R, τότε και (b, a) ∈ R.
• αντισυμμετρική, αν για κάθε a, b ∈ M ισχύει: αν (a, b) ∈ R και ταυτόχρονα (b, a) ∈ R, τότε a = b.
• μεταβατική, αν για κάθε a, b, c ∈ M ισχύει: αν (a, b) ∈ R και ταυτόχρονα (b, c) ∈ R, τότε και το (a, c) ανήκει στην R.

Παραδείγματα ανακλαστικότητας

Ανακλαστικότητα σημαίνει ότι ένα στοιχείο σχετίζεται με τον εαυτό του. Τυπικό παράδειγμα είναι η ισότητα. Αν έχουμε ορισμένη την ισότητα στους φυσικούς αριθμούς, τότε σίγουρα για οποιοδήποτε στοιχείο a ισχύει a = a. Άλλο παράδειγμα είναι η διαιρετότητα. Κι εδώ ισχύει ότι ο αριθμός a διαιρείται από τον εαυτό του, δηλαδή το ζεύγος (a, a) ανήκει στη σχέση της διαιρετότητας (το επτά διαιρεί το επτά).

Η σχέση «μικρότερο από» όμως δεν είναι ανακλαστική, επειδή δεν ισχύει a < a. Αυτό είναι αδύνατο, το επτά δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το επτά. Παρόμοια η σχέση «είναι ο πατέρας του παιδιού του» – δεν μπορώ να είμαι ο πατέρας του εαυτού μου. Τέτοιες σχέσεις δεν είναι ανακλαστικές.

Σημαντικό είναι ότι η ανακλαστικότητα πρέπει να ισχύει για όλα τα στοιχεία, δεν αρκεί να βρούμε μόνο μερικά. Για παράδειγμα η σχέση «συμπαθώ κάποιον». Μπορεί να συμπαθώ κάποιον, π.χ. τον ελεγκτή εισιτηρίων, αλλά μπορεί να συμπαθώ και τον εαυτό μου. Σίγουρα θα βρεθεί άνθρωπος που συμπαθεί τον εαυτό του. Αλλά εξίσου θα βρεθεί και άνθρωπος που δεν συμπαθεί τον εαυτό του. Μια τέτοια σχέση τότε δεν είναι ανακλαστική – όλοι οι άνθρωποι θα έπρεπε να συμπαθούν τον εαυτό τους.

Παραδείγματα συμμετρίας

Στη συμμετρική σχέση ισχύει ότι αν κάποιο ζεύγος ανήκει στη σχέση, τότε ανήκει και το αντίστροφο ζεύγος. Για παράδειγμα η σχέση «είναι αδελφός ή αδελφή». Αν ο Γιάννης είναι αδελφός της Μαρίας, τότε και η Μαρία είναι αδελφή του Γιάννη. Από τις σχέσεις αριθμών θα μπορούσε να είναι η σχέση «είναι αντίθετος αριθμός». Εννοώ τα ζεύγη 2 και −2 ή −7 και 7. Είναι δύο αριθμοί που έχουν άθροισμα μηδέν. Μια τέτοια σχέση είναι συμμετρική, επειδή η σειρά απλώς δεν παίζει ρόλο: τα (2, −2) και (−2, 2) είναι και τα δύο ζεύγη αντίθετων αριθμών και έχουν άθροισμα μηδέν.

Σχέση που δεν είναι συμμετρική είναι η «μικρότερο από» (στους πραγματικούς αριθμούς). Αυτή δεν έχει κανένα συμμετρικό στοιχείο, επειδή δεν μπορεί ποτέ να ισχύει a < b και ταυτόχρονα b < a. Αν 5 < 15, δεν μπορεί να ισχύει 15 < 5. Επίσης δεν είναι συμμετρική η σχέση «είναι ο πατέρας του γιου του». Μπορείς να είσαι ο πατέρας του γιου σου, αλλά τότε ο γιος δεν μπορεί να είναι πατέρας του πατέρα του.

Και αυτή η ιδιότητα πρέπει πάλι να ισχύει για όλες τις περιπτώσεις. Αν η σχέση «συμπαθώ κάποιον» (στο σύνολο όλων των ανθρώπων) πρέπει να είναι συμμετρική, τότε αν εγώ συμπαθώ την Αγάθη, θα έπρεπε ταυτόχρονα και η Αγάθη να με συμπαθεί. Και επειδή δεν με γνωρίζει καν, δεν μπορώ να πω ότι με συμπαθεί, κάτι που είναι κρίμα, και η σχέση δεν είναι συμμετρική. Κάτι που είναι κι αυτό κρίμα.

Παραδείγματα αντισυμμετρίας

Κλασικό παράδειγμα αντισυμμετρικής σχέσης είναι η σχέση «μικρότερο ή ίσο». Η αντισυμμετρία μας λέει ότι αν τα στοιχεία (a, b) και (b, a) ανήκουν στη σχέση, τότε αυτό γίνεται μόνο όταν είναι ίσα, a = b. Η σχέση «μικρότερο ή ίσο» το ικανοποιεί. Πότε ισχύει a ≤ b και ταυτόχρονα b ≤ a; Μόνο στην περίπτωση που a = b. Αν αντικαταστήσουμε: ισχύει 3 ≤ 5 και ταυτόχρονα 5 ≤ 3; Όχι. Ισχύει όμως 4 ≤ 4 και ταυτόχρονα 4 ≤ 4.

Παράδειγμα σχέσης που δεν είναι αντισυμμετρική μπορεί να είναι τα ζεύγη λέξεων που έχουν το ίδιο μήκος, για παράδειγμα (βουνό, κήπος). Μια τέτοια σχέση δεν είναι αντισυμμετρική, επειδή βρίσκουμε ένα ζεύγος λέξεων που ανήκει στη σχέση, το αντίστροφό του ανήκει επίσης στη σχέση και παρ' όλα αυτά οι δύο λέξεις είναι διαφορετικές. Έτσι το στοιχείο που ήδη αναφέραμε (βουνό, κήπος) και το αντίστροφό του (κήπος, βουνό). Και τα δύο ανήκουν προφανώς στη σχέση μας, αλλά βουνό ≠ κήπος, άρα η σχέση δεν είναι αντισυμμετρική.

Παράδειγμα μεταβατικότητας

Μεταβατική είναι η σχέση «μικρότερο από». Η μεταβατικότητα μας λέει ότι αν 3 < 4 και ταυτόχρονα 4 < 5, τότε σίγουρα πρέπει να ισχύει και 3 < 5. Για πολλές σχέσεις αυτή είναι μια αρκετά φυσική ιδιότητα. Παρόμοια και στο παράδειγμα με το ίδιο μήκος λέξεων. Αν στη σχέση ανήκει το ζεύγος (κήπος, βουνό) και ανήκει και το ζεύγος (βουνό, λύκος), τότε στη σχέση ανήκουν και οι λέξεις (κήπος, λύκος).

Μεταβατική δεν είναι η σχέση «είναι πατέρας του γιου του». Αν ο Τάσος είναι πατέρας του Φώτη και ο Φώτης είναι πατέρας του Μίλτου, τότε ο Τάσος δεν είναι πατέρας του Μίλτου, είναι ο παππούς του. Παρόμοια δεν είναι μεταβατική η σχέση «συμπαθώ κάποιον». Αν συμπαθώ την Αγάθη και η Αγάθη συμπαθεί τον σύζυγό της, αυτό δεν σημαίνει ότι συμπαθώ κι εγώ τον σύζυγο της Αγάθης.

Η μεταβατικότητα εξετάζεται και στα κλασικά ζάρια. Ας υποθέσουμε τη σχέση «το ζάρι A είναι καλύτερο από το ζάρι B», αν στο ζάρι A έρχεται πιο συχνά (με μεγαλύτερη πιθανότητα) υψηλότερος αριθμός απ' ό,τι στο ζάρι B. Είναι μια τέτοια σχέση μεταβατική; Σε αυτό απαντά το άρθρο μη μεταβατικά ζάρια.

Ισοδυναμία και διάταξη

Μερικοί ειδικοί τύποι διμελών σχέσεων έχουν και δικά τους ονόματα:

• Ισοδυναμία είναι μια σχέση που είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική.
• Διάταξη είναι μια σχέση που είναι ανακλαστική, αντισυμμετρική και μεταβατική.