Matriks

Matriks atas lapangan P adalah pemetaan {1, 2, …, n} × {1, 2, …, m} → P. Matriks biasanya dilambangkan dengan huruf kapital: A = (…). Sekarang dengan bahasa yang lebih sederhana.

Pengertian dasar

Matriks pada dasarnya adalah tabel dengan n kolom dan m baris; hati-hati, penamaan baris dan kolom ini tidak selalu sama di setiap buku. Di setiap sel tabel terdapat suatu bilangan atau bentuk lain. Matriks tidak harus berisi bilangan saja, meskipun pada awalnya kemungkinan besar kamu tidak akan menjumpai matriks jenis lain. Berikut contoh sebuah matriks:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 51 \end{array})$

Matriks ini memiliki dua baris dan tiga kolom. Elemen matriks ditulis dengan indeks, dan alih-alih huruf kapital digunakan huruf kecil: a₁₁ = 0 atau a₂₃ = 51. Indeks pertama menunjukkan baris, dan indeks kedua menunjukkan kolom.

Jenis-jenis matriks khusus

Matriks dapat memiliki berbagai sifat, dan beberapa matriks khusus bahkan memiliki nama sendiri.

Matriks persegi adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. Matriks yang tidak persegi disebut matriks persegi panjang. Contoh matriks persegi:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})$

Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol. a_ij = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai satu dan elemen lainnya nol. Diagonal utama adalah “diagonal” dari kiri atas ke kanan bawah. Singkatnya, diagonal utama terdiri atas elemen-elemen pada posisi dengan i = j.

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$

Matriks eselon baris adalah matriks yang baris-baris nolnya berada di bawah (atau tidak memiliki baris nol sama sekali), dan setiap baris tak nol diawali oleh lebih banyak nol daripada baris sebelumnya. Semua matriks berikut adalah matriks eselon baris:

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & π \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), A_{3} = (\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array})$

Transpos matriks A adalah matriks A^T yang memenuhi $a_{i j} = a_{j i}^{T}$ , artinya elemen yang berada di baris ke-i dan kolom ke-j akan berada di baris ke-j dan kolom ke-i pada matriks transpos. Singkatnya, baris-baris matriks ditukar menjadi kolom-kolom.

$\begin{array}{rcl} {(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{ccc} 0 & 8 & 47 \\ 1 & 5 & 154 \\ 5 & 23 & 2 \end{array}) \\ {(\begin{array}{ccc} 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{cc} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{array}) \end{array}$

Matriks simetris adalah matriks persegi A yang memenuhi kesamaan A = A^T. Elemen-elemen yang letaknya simetris terhadap diagonal utama sama besar. Jadi, kita bisa menulis a_ij = a_ji.

$A = (\begin{array}{ccc} 9 & 3 & 4 \\ 3 & 7 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{array})$

Matriks antisimetris hampir sama dengan matriks simetris, hanya saja elemen di seberang diagonal memiliki tanda yang berlawanan: A = −A^T. Karena itu, elemen-elemen pada diagonal utama harus nol, karena a = −a = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & - 3 & - 4 \\ 3 & 0 & 5 \\ 4 & - 5 & 0 \end{array})$

Matriks diagonal adalah matriks yang semua elemennya nol kecuali pada diagonal utama. Tepatnya, semua elemen di luar diagonal utama harus nol, sedangkan elemen pada diagonal utama boleh berapa saja.

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Operasi dasar pada matriks

Matriks dapat dijumlahkan, dikalikan dengan suatu bilangan, dan juga dikalikan satu sama lain.

Penjumlahan matriks cukup intuitif. Jika matriks-matriksnya berordo sama (= banyak kolom dan banyak barisnya sama), matriks hasil pada setiap posisi berisi jumlah bilangan pada posisi yang bersesuaian di matriks-matriks semula. Dengan kata lain, jika kita menjumlahkan matriks A + B = C, berlaku a_ij + b_ij = c_ij.

$(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) + (\begin{array}{ccc} 5 & 4 & 3 \\ 10 & 20 & 30 \\ 7 & - 54 & - 12 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 5 & 5 & 8 \\ 18 & 25 & 53 \\ 54 & 100 & - 10 \end{array})$

Jelas bahwa penjumlahan matriks bersifat komutatif dan asosiatif. A + B = B + A dan A + (B + C) = (A + B) + C.

Perkalian matriks dengan bilangan juga intuitif. Ambil bilangannya, lalu kalikan setiap elemen matriks dengan bilangan tersebut, tidak lebih. k · A = k · a_ij.

$5 \cdot (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 0 & 5 & 25 \\ 40 & 25 & 115 \\ 235 & 770 & 10 \end{array})$

Perkalian matriks

Perkalian dua matriks sedikit lebih sulit, karena tidak seintuitif yang mungkin kamu harapkan. Tidak cukup hanya mengalikan elemen-elemen yang bersesuaian. Pertama-tama, matriks-matriksnya harus memenuhi syarat: banyak kolom matriks pertama harus sama dengan banyak baris matriks kedua. Selebihnya boleh sembarang. Sekarang kita bisa mendefinisikan hasil kalinya (n adalah banyak kolom matriks pertama):

$(A \cdot B)_{i j} = \sum_{p = 1}^{n} a_{i p} \cdot b_{p j}$

Langsung paham, kan? Sekarang akan saya coba jelaskan dengan lebih pelan :-). Ambil baris pertama matriks pertama dan kolom pertama matriks kedua. Kalikan elemen pertama dengan elemen pertama, jumlahkan dengan hasil kali elemen kedua dengan elemen kedua, dan seterusnya. Dengan begitu kamu memperoleh elemen c₁₁ pada matriks baru C. Paling mudah jika kita lihat contohnya. Kita kalikan dua matriks berikut:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Sekarang kita pilih baris pertama matriks pertama dan kolom pertama matriks kedua:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Agar penulisannya jelas, matriks baru yang dihasilkan kita beri nama C. Untuk memperoleh elemen pertama matriks ini, kita harus menghitung: c₁₁ = a₁₁ · b₁₁ + a₁₂ · b₂₁. Ingat bahwa indeks pertama menunjukkan baris, lalu kolom. Setelah disubstitusikan, kita peroleh: 1 · 5 + 2 · 7 = 19. Elemen pertama bernilai 19:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & ? \\ ? & ? \end{array})$

Elemen berikutnya, c₁₂, diperoleh dengan cara yang sama, hanya saja kita ambil baris pertama dan kolom kedua. Dengan perhitungan yang agak panjang ini, kita selalu memperoleh elemen yang menjadi “pertemuan” baris dan kolom tersebut. Baris pertama dan kolom pertama bertemu di posisi c₁₁, sedangkan baris pertama dan kolom kedua di posisi c₁₂. Gambar berikut memperlihatkannya dengan jelas:

Hasil kali matriks

Sekarang tinggal kita kalikan sisa elemennya dengan cepat:

$\begin{array}{rcl} c_{12} & = & a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22. \\ c_{21} & = & a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43. \\ c_{22} & = & a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50. \end{array}$

Bilangan-bilangan ini tinggal kita tuliskan ke dalam matriks:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{array})$

Kebenaran hasilnya bisa diperiksa, misalnya, di Excel atau LibreOffice Calc, yang memiliki fungsi untuk bekerja dengan matriks (fungsi MMULT). Kamu juga bisa menggunakan kalkulator perkalian matriks daring.

Sekarang beberapa informasi umum tentang perkalian matriks. Pertama, perkalian matriks tidak bersifat komutatif. Secara umum tidak berlaku A · B = B · A, meskipun tentu saja hal itu bisa terjadi. Namun, perkalian matriks bersifat asosiatif. Perkalian matriks bahkan bersifat distributif terhadap penjumlahan: A (B + C) = AB + AC. Jika kita mengalikan dua matriks a_ix · b_xn, matriks hasilnya berordo i × n (banyak barisnya sama dengan banyak baris matriks pertama, dan banyak kolomnya sama dengan banyak kolom matriks kedua).

Contoh soal

Diberikan tiga matriks berikut:

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}), C = (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) .$

Hitunglah hasil kali matriks A · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 36 & 41 & 43 \\ 90 & 98 & 106 \\ 144 & 155 & 169 \end{array})$

Hitunglah hasil kali matriks B · A.

Ingat bahwa perkalian matriks tidak bersifat komutatif, sehingga kita tidak bisa memastikan bahwa hasilnya sama dengan hasil sebelumnya. Kita harus menghitung semuanya lagi:

$(\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 68 & 82 & 96 \\ 86 & 112 & 138 \\ 87 & 105 & 123 \end{array})$

Hitunglah hasil kali matriks A · C dan C · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 28 & 14 \\ 67 & 50 \\ 106 & 86 \end{array})$

Hasil kali kedua tidak dapat dihitung, karena banyak kolom matriks pertama berbeda dengan banyak baris matriks kedua.

Operasi baris elementer

Agar dapat bekerja dengan matriks secara efektif, kita perlu mendefinisikan beberapa operasi elementer pada matriks. Pertama, kita boleh mengalikan suatu baris/kolom matriks dengan bilangan yang tidak sama dengan nol. Hasilnya sama seperti perkalian matriks dengan k, tetapi hanya pada baris/kolom tersebut.

Operasi kedua adalah menambahkan k kali baris ke-j pada baris ke-i. Hal yang sama berlaku untuk kolom. Kedengarannya agak menakutkan, tetapi sebenarnya sederhana. Kita tunjukkan untuk k = 1. Misalkan diberikan matriks berikut:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Sekarang baris kedua kita tambahkan pada baris pertama. Jadi, kita ambil baris kedua dan bilangan-bilangannya kita tambahkan pada bilangan di posisi yang bersesuaian di baris pertama. Bilangan-bilangan di baris kedua tidak berubah; hanya baris pertama yang berubah:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Sekarang kita bisa melanjutkan operasinya. Kita coba menambahkan dua kali baris pertama pada baris ketiga. Dari matriks baru ini kita ambil baris pertama, kita kalikan dua sehingga diperoleh baris (10, 14, 18), lalu bilangan-bilangan ini kita tambahkan pada baris ketiga. Sekali lagi — baris pertama tidak berubah; hanya baris ketiga yang berubah:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 17 & 22 & 27 \end{array})$

Sekarang pada baris ketiga kita tambahkan jumlah baris pertama dan baris kedua. Pada dasarnya ini bukan hal baru, karena jika pada baris ketiga kita tambahkan dulu baris kedua, lalu baris pertama, hasilnya pasti sama. Jumlah baris pertama dan kedua adalah: (5, 7, 9) + (4, 5, 6) = (9, 12, 15). Jumlah baris ini dengan baris ketiga adalah: (9, 12, 15) + (17, 22, 27) = (26, 34, 42).

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 26 & 34 & 42 \end{array})$

Satu operasi kolom lagi (operasi kolom biasanya lebih jarang digunakan, karena kurang mudah diikuti). Kolom pertama kita tambahkan pada kolom kedua:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 4 & 9 & 6 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Terakhir, baris kedua kita kalikan dengan dua:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 8 & 18 & 12 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Kebergantungan linear

Sekarang kita jelaskan apa yang dimaksud dengan baris/kolom yang bergantung linear. Suatu baris bergantung linear jika baris tersebut dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear baris-baris lain dalam matriks. Singkatnya, jika kamu bisa menjumlahkan baris-baris lain dengan berbagai cara sehingga akhirnya diperoleh baris yang dicari, baris tersebut bergantung linear. Contoh:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array})$

Jika kamu ambil dua kali baris pertama ditambah baris kedua, kamu memperoleh baris ketiga. Jika kombinasi ini dikurangkan dari baris ketiga, diperoleh baris nol (baris yang semua elemennya nol). Baris ini bergantung linear. Operasinya kita lakukan sebagai berikut (baris pertama dikalikan dua, ditambahkan pada baris kedua, lalu dikurangkan dari baris ketiga):

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

Jika diberikan matriks A dengan n baris dan A_i menyatakan baris ke-i, matriks tersebut tidak memuat baris yang bergantung linear jika:

$α_{1} A_{1} + α_{2} A_{2} + \dots + α_{n} A_{n} = 0$

jika dan hanya jika α₁, α₂, …, α_n = 0. Nol di ruas kanan persamaan menyatakan baris nol. Artinya, satu-satunya penyelesaian persamaan ini adalah penyelesaian nol. Jika kita menemukan penyelesaian lain, matriks tersebut memuat baris yang bergantung linear. Hal yang sama berlaku untuk kolom. Untuk matriks sebelumnya berlaku:

$\begin{array}{rcl} 2 (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \end{array}) + 1 (\begin{array}{c} 4 & 5 & 6 \end{array}) - 1 (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = \\ = (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Jadi, nilai-nilai alfa adalah α₁ = 2, α₂ = 1, α₃ = −1.

Banyaknya baris atau kolom yang bebas linear menentukan rank matriks.

Matriks nonsingular dan matriks singular

Matriks disebut nonsingular jika matriks itu persegi dan memiliki rank maksimum (yaitu tidak memuat baris yang bergantung linear). Matriks persegi disebut singular jika tidak nonsingular (yaitu jika matriks memuat paling sedikit satu baris yang bergantung linear). Kedua pengertian ini cukup penting, karena banyak definisi bergantung padanya. Banyak hal hanya terdefinisi jika matriksnya nonsingular.