Relasi

Relasi adalah padanan matematika dari pengertian sehari-hari “hubungan”. Dalam kehidupan sehari-hari, misalnya Siti memiliki hubungan dengan Dewi, tepatnya hubungan “ibu — anak perempuan”. Hubungan lain bisa berupa “negara — ibu kota negara tersebut”. Sebagai contoh, kita bisa mengambil Mesir — Kairo.

Contoh relasi lainnya

Mari kita lihat contoh-contoh lain. Di bagian pembuka kita sudah menyebut relasi (hubungan) “menjadi ibu dari anak perempuannya” dan “menjadi ibu kota suatu negara”. Berikut contoh lain: “merupakan bilangan genap”. Dalam relasi ini terdapat bilangan 2, 4, 8, 18, 58, 66 dan masih banyak lagi. Bilangan 1, 3, −7, 19 tidak berada dalam relasi “merupakan bilangan genap”. Relasi dari dunia sehari-hari bisa berupa “merupakan laki-laki”. Budi, Agus, Andi, atau Rizky berada dalam relasi “merupakan laki-laki”.

Contoh lain adalah relasi “kurang dari”. Misalnya, bilangan tiga “kurang dari” bilangan lima. Secara matematis, hal ini dapat ditulis sebagai 3<5. Ada juga relasi kesamaan: bilangan tiga “sama dengan” bilangan tiga, secara matematis: 3 = 3.

Contohnya bisa juga lebih rumit: “ayah dan ibu adalah orang tua dari anak”. Dalam relasi ini terdapat tiga orang: ayah Budi, ibu Siti, dan anak Putri. Dalam matematika, kita bisa membuat relasi dengan tiga elemen seperti ini: jumlah dua bilangan pertama sama dengan bilangan ketiga. Misalnya, bilangan-bilangan berikut, dengan urutan ini, berada dalam relasi tersebut: 3, 4, 7, karena 3 + 4 = 7. Bilangan-bilangan berikut tidak berada dalam relasi tersebut: 3, 5, 12, karena 3 + 5 ≠ 12.

Aritas relasi

Aritas adalah istilah yang terdengar aneh, tetapi artinya hanya banyaknya elemen dalam relasi. Pada contoh-contoh sebelumnya, kita bekerja dengan banyak elemen yang berbeda-beda. Untuk relasi “merupakan laki-laki”, satu elemen sudah cukup, sehingga kita bisa mengatakan: “Andi adalah laki-laki”. Kita hanya memerlukan satu nama, satu elemen. Relasi seperti ini disebut relasi uner.

Pada contoh berikutnya kita memiliki relasi “kurang dari”. Relasi ini bekerja dengan dua bilangan, yaitu dua elemen. Kita mengatakan bahwa bilangan tiga kurang dari lima. Kita menggunakan dua elemen, sehingga relasinya biner.

Pada contoh terakhir kita menggunakan tiga elemen: jumlah dua bilangan harus sama dengan bilangan ketiga. Jadi, kita memiliki bilangan a, b, c dan harus berlaku a + b = c. Relasi ini disebut relasi terner.

Untuk aritas yang lebih tinggi, kita bisa menggunakan sebutan relasi n-ary. Sebutan ini juga bisa dipakai untuk aritas yang lebih rendah; relasi biner bisa ditulis sebagai relasi 2-ary. Elemen relasi kemudian ditulis dalam bentuk n-tupel berurutan. Untuk relasi biner, elemennya ditulis sebagai pasangan, biasanya dengan tanda kurung biasa atau kurung siku. Jadi, jika kita ingin menuliskan bahwa bilangan tiga dan lima berada dalam relasi “kurang dari”, kedua bilangan harus ditulis sebagai pasangan: (3, 5), atau [3, 5]. Perhatikan bahwa urutannya penting; kebalikannya tidak berlaku: (3, 5) ≠ (5, 3) — lima tidak kurang dari tiga.

Contoh keluarga

Sebelum masuk ke definisi matematis, mari kita coba satu contoh khas lagi tentang keluarga. Misalkan ada anggota keluarga berikut:

• Harjo: kakek dari pihak ayah;
• Budi: ayah;
• Siti: ibu;
• Putri: anak perempuan;
• Andi: anak laki-laki.

Pertama, kita cari semua anggota keluarga yang memenuhi relasi “merupakan laki-laki”. Relasi ini adalah relasi 1-ary atau uner. Jadi, setiap elemen relasi hanya terdiri atas satu anggota keluarga. Kita harus menuliskan semua anggota keluarga yang berjenis kelamin laki-laki. Di sini urutan tidak penting. Jadi, relasi “merupakan laki-laki” memuat elemen-elemen berikut: {(Harjo), (Budi), (Andi)}. Perhatikan bahwa meskipun relasinya uner, kita tetap memakai tanda kurung. Hal ini tidak wajib, karena tanpa tanda kurung pun penulisannya tetap terbaca, tetapi tanda kurung saya biarkan agar penulisannya konsisten. Kumpulan semua elemen relasi adalah himpunan biasa, karena itu digunakan kurung kurawal.

Sekarang kita cari semua pasangan dalam relasi “ayah — anak laki-laki”. Sekilas sudah terlihat bahwa ini relasi biner, sehingga hasilnya berupa pasangan berurutan. Himpunan yang diperoleh adalah: {(Budi, Andi), (Harjo, Budi)}. Budi adalah ayah dari Andi, dan Kakek Harjo adalah ayah dari Budi. Perhatikan bahwa urutan memang penting: Budi muncul dua kali, sekali di tempat pertama sebagai ayah dan sekali di tempat kedua sebagai anak laki-laki.

Mari kita coba relasi lain: “orang tua — anak”. Di sini pasangannya lebih banyak, karena di tempat pertama bisa ada salah satu orang tua, ayah atau ibu, dan di tempat kedua bisa ada anak mana saja, laki-laki atau perempuan. Kita juga harus ingat bahwa Kakek Harjo adalah orang tua Budi, tetapi bukan orang tua Siti. Budi dan Siti sama-sama orang tua Putri dan Andi. Putri dan Andi belum menjadi orang tua siapa pun, karena mereka baru berusia sembilan belas dan tiga belas tahun. Hasilnya adalah pasangan-pasangan berurutan berikut: {(Harjo, Budi), (Budi, Putri), (Budi, Andi), (Siti, Putri), (Siti, Andi)}. Perhatikan bahwa Budi dan Siti masing-masing muncul dua kali — sekali sebagai orang tua Putri dan sekali sebagai orang tua Andi.

Jebakan terakhir pada relasi biner. Misalkan ada relasi “saudara kandung — saudara kandung”. Di sini kita harus ingat bahwa pada relasi urutan itu penting. Jika kita hanya menulis “Putri — Andi” sebagai hasil relasi ini, jawabannya salah, karena pasangan berurutan tersebut sama sekali berbeda dengan “Andi — Putri”. Jadi, hasil yang benar adalah: {(Putri, Andi), (Andi, Putri)}.

Satu contoh singkat lagi untuk relasi terner: Tuliskan semua tripel berurutan dari relasi “kakek — ayah — anak”. Dalam soal hanya ada satu kakek dan satu ayah, tetapi ada dua anak. Tidak cukup menulis tripel dengan Putri saja atau dengan Andi saja; keduanya harus ditulis. Lain halnya jika di tempat terakhir tertulis “anak laki-laki”, bukan “anak”. Hasil yang benar adalah: {(Harjo, Budi, Putri), (Harjo, Budi, Andi)}.

Definisi relasi uner

Mari kita selidiki relasi yang paling sederhana, yaitu relasi uner. Relasi uner adalah suatu himpunan elemen. Himpunan {2, 3} bisa mewakili suatu relasi. Misalnya, relasi “merupakan bilangan prima yang kurang dari lima” atau “merupakan faktor nontrivial dari bilangan enam”, bergantung pada cara kita menafsirkannya.

Pembaca yang jeli tentu memperhatikan bahwa relasi kedua didefinisikan agak aneh. Relasi ini seharusnya memuat faktor-faktor nontrivial dari bilangan enam, dan dalam himpunan hasilnya ada bilangan 2 dan 3. Apakah tidak ada yang terlewat? Bilangan 1 dan 6 adalah faktor trivial, sehingga tidak kita perhitungkan. Namun, seharusnya ada juga bilangan negatif, yaitu −2 dan −3. Himpunan semua faktor nontrivial dari bilangan 6 adalah: {−3, −2, 2, 3}.

Seperti pada fungsi kita menentukan daerah asal, pada relasi kita menentukan himpunan dasar — himpunan tempat kita memilih elemen relasi. Pada contoh sebelumnya, misalnya, kita menentukan satu keluarga, yaitu keluarga Kakek Harjo. Kita tidak memilih ayah dan anak dari semua keluarga di dunia. Jika sebagai himpunan dasar kita tetapkan himpunan bilangan asli, relasi kita sudah benar.

Sekarang kita bisa masuk ke definisi relasi. Jika himpunan dasarnya adalah bilangan asli, elemen apa saja yang bisa dimuat relasi uner kita? Tentu juga hanya bilangan asli, entah semuanya atau hanya sebagian. Jadi, kita bisa mengatakan bahwa relasi tersebut adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan asli. Secara lebih umum, jika kita memiliki relasi uner R dan himpunan dasar M, berlaku R ⊆ M: relasi R adalah himpunan bagian dari himpunan M.

Definisi relasi biner

Bagaimana dengan relasi biner? Pada relasi biner, elemen relasi R adalah pasangan berurutan. Setiap elemen pasangan bisa berasal dari himpunan yang berbeda. Misalnya, kita bisa memiliki relasi “orang tua — banyak anak”. Orang tua dipilih dari himpunan orang, misalnya penduduk Indonesia, sedangkan banyak anak dipilih dari himpunan bilangan cacah.

Bagaimana cara memperoleh himpunan semua pasangan yang mungkin dari dua himpunan? Dengan hasil kali Kartesius. Jika diberikan himpunan A = {a, b, c}, B = {1, 2}, hasil kali Kartesiusnya adalah:

$$A\times B=\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)\}$$

Ini adalah himpunan semua pasangan yang mungkin, dengan elemen himpunan A di tempat pertama dan elemen himpunan B di tempat kedua. Jadi, jika R adalah relasi biner antara himpunan A dan B, relasi ini dapat didefinisikan sebagai R ⊆ A × B.

Misalkan kita tetap memakai himpunan A dan B di atas dan mendefinisikan relasi R antara kedua himpunan ini sebagai “huruf — urutan huruf dalam alfabet”. Relasi ini adalah: R = {(a, 1), (b, 2)}. Huruf c tidak ada di dalamnya, karena hasil kali Kartesius A × B tidak memuat pasangan (c, 3).

Definisi relasi n-ary

Terakhir, kita definisikan relasi n-ary umum R antara himpunan M₁, M₂, …, M_n:

$$R\subseteq M_1\times M_2\times \dots \times M_n$$

Jadi, relasi adalah himpunan bagian dari himpunan n-tupel berurutan. Contoh relasi biner adalah relasi “kurang dari”, yaitu <. Relasi ini dapat didefinisikan pada suatu himpunan bilangan, misalnya pada bilangan asli. Relasinya ditulis seperti ini:

$$<\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{N}$$

(Jangan kaget melihat tanda < berada di ruas kiri. Tanda itu hanya nama relasi. Di sana bisa saja tertulis R, dengan R mewakili relasi kurang dari.)

Secara konkret, relasi tersebut terlihat seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}<=& & (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),\dots \\ & & (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\dots \\ & & (3,4),(3,5),(3,6),(3,7),\dots \\ & & (4,5),(4,6),(4,7),(4,8),\dots \\ & & \dots \\ & & \end{array}$$

Relasi ini adalah himpunan pasangan berurutan dengan bilangan asli di tempat pertama yang kurang dari bilangan asli di tempat kedua.

Penulisan relasi

Relasi biasanya diberi nama dengan huruf kapital R, S, dan sebagainya, atau dengan simbol yang sudah lazim: <, ⊆, =, dan sebagainya. Dari definisi-definisi di atas terlihat bahwa relasi sebenarnya adalah himpunan. Lagi pula, hampir semua hal dalam matematika sebenarnya adalah himpunan :-). Karena itu, jika ingin menyatakan bahwa elemen r termasuk dalam relasi R, kita bisa menulis r ∈ R.

Misalnya, kita bisa menulis (1, 3) ∈ <, yang artinya pasangan bilangan satu dan tiga termasuk dalam relasi kurang dari. Pada relasi biner, kita sering menjumpai penulisan yang lebih nyaman, yang sudah kamu kenal sejak SD. Alih-alih memakai operator keanggotaan ∈, kita cukup menulis 1 < 3. Begitu pula, biasanya kita tidak menulis (5, 5) ∈ =, tetapi 5 = 5.