Rank matriks

Rank matriks adalah bilangan yang menyatakan banyaknya baris atau kolom matriks yang bebas linear.

Definisi

Rank matriks adalah banyak maksimum baris/kolom yang bebas linear dalam matriks. Matriks nol memiliki rank nol, sedangkan setiap matriks lain memiliki rank paling sedikit satu. Matriks berordo m × n memiliki rank paling besar min(m, n). Jadi, jika banyak baris matriks lebih sedikit daripada banyak kolomnya, rank matriks paling besar sama dengan banyak barisnya. Hal yang serupa berlaku untuk kolom.

Rank matriks biasanya ditulis dengan kata bahasa Inggris “rank”. Kita menulis rank(A) = x.

Cara menghitung rank

Sekarang cara menghitung rank matriks. Caranya cukup sederhana. Matriks harus diubah ke bentuk yang memperlihatkan dengan jelas baris mana saja yang bebas linear. Biasanya hal ini dilakukan dengan mengubah matriks ke bentuk eselon baris (di bawah diagonal semuanya nol), sehingga keadaan matriks langsung terlihat. Langsung saja ke contoh — diberikan matriks berikut:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 1& -1\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Kita harus menentukan rank-nya. Sekarang kita harus menyadari satu hal kecil. Jika ada dua baris yang semua elemennya tidak sama dengan nol, secara teori keduanya bisa bergantung linear. Kita harus menghitungnya. Namun, jika salah satu baris memiliki nol di suatu posisi, sedangkan baris lainnya di posisi yang sama tidak bernilai nol, kita bisa memastikan bahwa keduanya tidak bergantung linear. Sebab, tidak ada bilangan yang dapat dikalikan dengan nol itu (dan dengan seluruh barisnya) agar diperoleh bilangan yang sama dengan bilangan di baris lainnya. Karena itu, kita selalu berusaha mengubah matriks ke bentuk eselon baris agar nol-nol tersebut muncul.

Paragraf sebelumnya dapat ditulis seperti ini. Jika α₁, α₂ ≠ 0, maka:

$${\alpha }_1\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)+{\alpha }_2\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{ccc}0& a& b\end{array}\right)$$

Karena itu, kita berusaha mengubah matriks ke bentuk serupa agar kebergantungannya mudah terlihat. Perhatikan contoh berikut:

$$\left(\begin{array}{ccc}4& -5& 1\\ 0& 7& 2\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$

Ini adalah matriks dalam bentuk eselon baris, dan tidak ada baris yang bergantung linear. Baris ketiga tidak dapat dinyatakan dengan dua baris pertama, karena jika koefisien alfanya tidak nol, di posisi-posisi awal selalu tersisa bilangan tak nol.

Langkah-langkahnya biasanya sebagai berikut: pertama, kita buat nol di kolom pertama (kecuali di baris pertama). Kemudian kita lanjutkan operasinya agar diperoleh nol di kolom kedua, lalu kolom ketiga, dan seterusnya, hingga akhirnya diperoleh bentuk eselon baris. Kita hitung banyaknya baris tak nol, dan jadilah rank matriksnya. Operasi-operasi berikut boleh digunakan tanpa mengubah rank matriks:

• Menukar sembarang dua baris.
• Mengalikan suatu baris dengan sembarang bentuk yang tidak nol.
• Menambahkan suatu baris pada baris lain.
• Semua operasi di atas juga boleh diterapkan pada kolom.

Contoh

Pada matriks sebelumnya, operasinya kita lakukan sebagai berikut: Kita lihat hubungan antara elemen a₁₁ dan a₂₁. Keduanya sama, sehingga agar di posisi a₂₁ diperoleh nol, kita harus menambahkan −1 kali baris pertama. Kita tambahkan −1 kali baris pertama pada baris kedua (dengan kata lain, baris kedua dikurangi baris pertama):

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Sekarang nol sudah muncul di tempat yang kita inginkan. Selanjutnya kita masih harus membuat nol di posisi a₃₁. Di sana juga ada angka satu, jadi kita cukup mengurangkan baris pertama:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$$

Kolom pertama sudah berisi nol, jadi kita lanjutkan ke kolom kedua. Terlihat bahwa bilangan a₂₂ dan a₃₂ saling berlawanan, sehingga kedua baris cukup dijumlahkan:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Kita memperoleh satu baris nol. Operasinya sudah selesai, dan kita sudah sampai pada bentuk eselon baris. Sekarang tinggal menghitung banyaknya baris tak nol, dan rank-nya pun diperoleh: rank A = 2. Matriks ini memiliki rank dua.

Contoh kedua

Sekarang kita coba menghitung rank matriks yang sedikit lebih besar:

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 5& 1\\ 1& 3& 5& -7\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Rank matriks adalah banyak maksimum baris yang bebas linear, jadi kita boleh menukar urutan baris sesuka kita. Di sini akan lebih nyaman jika baris dengan angka satu di awal berada paling atas, agar perhitungannya lebih mudah. Jadi, kita bisa menukar baris pertama dengan baris kedua tanpa khawatir:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 7& 2& 5& 1\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Sekarang kita lakukan langkah yang sama seperti pada contoh sebelumnya. Kolom pertama harus berisi nol semua (tentu kecuali di baris pertama), jadi pada baris kedua kita tambahkan −7 kali baris pertama, pada baris ketiga −4 kali, dan pada baris terakhir −2 kali. Baris pertama tidak berubah:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& -19& -30& 50\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& 2& 0& 5\end{array}\right)$$

Kita tukar lagi barisnya; kali ini baris terakhir sebaiknya berada di tempat baris kedua karena angka dua di posisi kedua. Kita tukar baris kedua dan keempat:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& -19& -30& 50\end{array}\right)$$

Namun, terlihat bahwa di bawah angka dua ada bilangan −17 dan −19. Tidak satu pun dari bilangan itu habis dibagi dua, dan ini agak merepotkan. Karena itu, baris ketiga dan keempat kita kalikan dua:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -34& -38& 56\\ 0& -38& -60& 100\end{array}\right)$$

Sekarang kita bisa melanjutkan operasi untuk membuat nol di kolom kedua. Pada baris ketiga kita tambahkan 17 kali baris kedua, dan pada baris keempat 19 kali:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& -38& 141\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

Nah, sekarang kita memperoleh bilangan-bilangan yang cukup merepotkan untuk operasi berikutnya, tetapi kita tetap bisa mengatasinya. Baris ketiga kita bagi dengan −38:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

Sekarang baris ketiga kita kalikan 60 dan kita tambahkan pada baris keempat:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& 195-\frac{60\cdot 141}{38}\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& -\frac{525}{19}\end{array}\right)$$

Bilangan yang kita peroleh memang tidak cantik, tetapi tidak nol. Jadi, matriks ini memiliki rank empat dan tidak memuat baris yang bergantung linear.

Contoh dengan parameter

Berapakah rank matriks A bergantung pada parameter q?

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)$$

Soal ini sedikit lebih rumit, karena ada parameter q. Kita harus menentukan untuk nilai q berapa matriks memiliki rank maksimum, jika memang ada, dan untuk nilai berapa rank-nya lebih kecil. Kita bekerja dengan cara biasa, hanya saja kadang kita menghitung dengan q yang abstrak, bukan dengan nilai konkret. Pada langkah pertama, kita pindahkan parameter q ke tempat yang lebih nyaman, yaitu ke pojok kanan bawah. Jadi, kita tukar baris kedua dengan baris ketiga, lalu kolom pertama dengan kolom terakhir:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ 4& 1& 3\\ q& 5& 8\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)$$

Sekarang parameternya sudah berada di tempat yang tidak terlalu mengganggu. Namun, di kolom pertama ada bilangan-bilangan yang cukup merepotkan, sedangkan tepat di tengah ada angka satu: kita pindahkan angka itu ke kiri atas, yaitu kita tukar baris pertama dan kedua serta kolom pertama dan kedua:

$$\left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 17& 8& 1\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Sekarang matriksnya sudah rapi. Baris pertama kita kalikan −8 dan kita tambahkan pada baris kedua:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Baris pertama kita kalikan −5 dan kita tambahkan pada baris ketiga:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)$$

Bagus, kolom pertama sudah sesuai kebutuhan. Sekarang kita tambahkan −1 kali baris kedua pada baris ketiga:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& 0& q+11\end{array}\right)$$

Operasi pada matriks sudah selesai. Terlihat bahwa baris pertama dan kedua pasti bebas linear. Namun, baris ketiga bisa saja bergantung linear. Baris ini bergantung linear jika seluruhnya nol, yaitu jika parameter q kita pilih sehingga bentuk q + 11 sama dengan nol. Jelas bahwa jika q = −11, barisnya menjadi baris nol, sehingga baris tersebut bergantung linear.

Jadi, kesimpulan akhirnya: untuk q = −11, matriks ini memiliki rank dua; untuk nilai lainnya, rank-nya tiga.